材料力学 教学课件 作者 顾晓勤 等 第08章 复杂应力状态和强度理论第2节 二向应力状态分析.ppt

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1、一、单元体截面上的应力正应力：仍以拉压力为正，压应力为负；切应力：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点作顺时针转动趋势时为正，反之为负；斜截面外法线与x轴所成角度：从x轴按逆时针转向转到外法线n时为正，反之为负。规定设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dAsin面的面积为dAcos。取t和n为参考轴，建立棱柱体ade的受力平衡方程如下：由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：、及对以上二式进行整理得到：利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应力。且斜截面上的应力是角度的函数，正应力和切应力随截面的方位改变

2、而变化。若已知单元体上互相垂直面上的应力x、x、y、y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。例8-1已知构件内某点处的应力单元体如图所示，试求斜截面上的正应力和切应力。解：按正负号规定则有：代入公式得：将公式对求一阶导数、并令其为0：则有：二、主应力和极限切应力1、主应力和主平面则三个主平面互相垂直。上式解得的斜截面角有0和90º+0两个，其中一个是max所在的平面，另一个是min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。再考虑到各应力均为零的平面也是主平面，故平面应力状态下的极值正应力所在的平面恰好是切应力等于零

3、的面，即主平面。因此极值正应力就是主应力。说明最大主应力和最小主应力的计算式确定max和min所在平面的方法1）若x>y，则所求的两个角度0和90º+0中，绝对值较小的一个确定max所在的平面；2）若x<y，则所求的两个角度0和90º+0中，绝对值较小的一个确定min所在的平面；确定max和min所在平面的方法3）若x=y，如果有x使单元体顺时针转动趋势，则指向为从所在的x轴正向沿顺时针转过45º，如图a所示；如果有x使单元体逆时针转动趋势，则指向为从所在的x轴正向沿逆时针转过45º，如图b所示2、极限切应

4、力及所在平面同理：将公式对求一阶导数，并令其为0：则有：则上式解得的斜截面角有1和90º+1两个，其中一个是max所在的平面，另一个是min所在的平面，且两个主平面相互垂直的。例8-2扭转试验破坏现象如下：低碳钢试件从表面开始沿横截面破坏，如图a所示；铸铁试件则从表面开始沿与轴线成倾角的螺旋曲面破坏，如图b所示。试分析并解释它们的破坏原因。解：1）试件横截面最外端切应力最大，所以低碳钢和铸铁两种试件均从表面开始破坏。2）要解释断口的不同，首先确定最大正应力和最大切应力所发生的平面：当时，当时，低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗

5、剪能力低于其抗拉能力。铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低于其抗剪能力。例8-3图示单元体，x=100MPa，x=–20MPa，y=30MPa。试求：1）=40º的斜截面上的和；2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。解：1），代入公式2）A点处的max、max因x>y，则所求的两个角度0和90º+0中，绝对值较小的14º52'确定max所在的平面。max所在截面的方位角：