材料力学 Ⅰ 第2版 教学课件 作者 金忠谋 附录A 平面图形.ppt

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1、附录A平面图形的几何性质－应力分析所必需的预备知识材料力学为什么要研究截面图形的几何性质?◆实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。拉压：应力均布，仅需满足，不考虑形状；扭转：应力不均布，出现，在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。平面图形的几何性质材料力学研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等

2、。为什么要研究截面图形的几何性质平面图形的几何性质材料力学一、定义1.静矩oyzAdAyzAydAAzdA图形对y轴的静矩图形对z轴的静矩单位：材料力学讨论（1）静矩可0；0；0。（2）若图形形心C已知，由静力学可知：oyzAC（3）求静矩的另一公式：已知图形的形心坐标可以确定静矩平面图形的几何性质/定义材料力学（3）若yzAC则y、z轴称为形心轴。若已知则可确定z轴、y轴通过截面形心。已知静矩可以确定图形的形心坐标平面图形的几何性质/定义材料力学2.惯矩oyzAdAyzAy²dAAz²dA图形对

3、y轴的惯矩图形对z轴的惯矩单位：讨论（2）所以——惯性半径（1）惯矩恒0；平面图形的几何性质/定义材料力学3.极惯矩oyzAdAyz图形对o点的极惯矩单位：讨论（1）（2）平面图形的几何性质/定义材料力学例：yzd已知则而所以已知：圆截面直径d求：Iy，Iz平面图形的几何性质/定义材料力学yzbh例：1、矩形。求解：zdz同理c平面图形的几何性质/定义材料力学4.惯积图形对y、z两轴的惯积单位：oyzAdAyz讨论（1）可0；0；0；（2）若图形有一对称轴，则平面图形的几何性质/定义材料力学yz平面图形

4、的几何性质/定义材料力学（3）若则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的Iy惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。平面图形的几何性质/定义材料力学二、组合图形的几何性质dD根据定义：整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积…）等于各个分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积…）之和。IIIIIIyz材料力学例如:则IIIIIIyz同理平面图形的几何

5、性质/组合图形的几何性质材料力学空心圆其中dDyz平面图形的几何性质/组合图形的几何性质材料力学工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴的惯性矩。yzCzyCc1y1平面图形的几何性质/组合图形的几何性质材料力学A三、平行移轴公式CyzdAyzoba已知:(y、z轴过形心C)求解：代入定义式：材料力学ACyzdAyzoba同理00平面图形的几何性质/平行移轴公式材料力学平行移轴公式注意：（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性

6、矩来换算;（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.ACyzdAyzoba平面图形的几何性质/平行移轴公式材料力学(3)a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。平行移轴公式平面图形的几何性质/平行移轴公式材料力学2003173例：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。解:(1)求形心zyC任选参考坐标系,如III而C1C2平面图形的几何性质/平行移轴公式材料力学(2)求2003173zyCIIIy1平面图形

7、的几何性质/平行移轴公式材料力学所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。四、转轴公式yzOy1z1dAzyz1y1已知：Iy、Iz、Iyz、求：Iy1、Iz1、Iy1z1材料力学yzOy1z1dAzyz1y1平面图形的几何性质/转轴公式材料力学主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩yzOy0z000dAzyz0y0y0、z0－通过O点的主轴方向的求解:平面图形的几何性质/转轴公式材料力学当改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值

8、和极小值。Iy0、Iz0－主惯性矩主惯性矩：zyOz0y000dAyzy0z0平面图形的几何性质/转轴公式材料力学对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其