工程力学 教学课件 作者 顾成军 姜益军 廖东斌 主编第11章 能量法.ppt

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1、卡氏定理2杆件应变能1第11章　能量法莫尔积分计算莫尔积分的图形互乘法3411.1杆件应变能12轴向拉伸（或压缩）变形扭转变形34纯弯曲变形组合变形在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能（又称变形能）。物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即11.1杆件应变能抗拉刚度为EA的等直杆，在线弹性范围内，拉伸图为直线段。若外力从零开始缓慢地增加到最终值F和伸长量从零开始缓慢地增加到最终值，由则应变能为一般地11.1.1轴向拉伸（或压缩）变形11.1.2扭转变形设如

2、图11-1所示的扭转变形，由扭转角公式应变能为一般地如图11-2所示的纯弯曲变形，由M=Me及应变能为一般地对于横力弯曲不计剪力影响时应变能可按上式计算。11.1.3纯弯曲变形对于内力有轴力、扭矩、弯矩和剪力的组合变形构件，不计剪力影响时应变能11.1.4组合变形11.2卡氏定理12卡氏第一定理卡氏第二定理弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移之变化率，等于与该位移相应的载荷，称为卡氏第一定理。卡氏第一定理适用于一切受力状态下线性或非线性的弹性杆件。式中，Fi代表作用在杆件上的广义力，可以代表一个力、一个力偶、一对力或一对力偶；而Δi则为与之相对应的广义位移

3、，可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移。11.2.1卡氏第一定理线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷之变化率，等于与该载荷相应的位移，称为卡氏第二定理。卡氏第二定理是只适用于线弹性材料。为方便计算，不计剪力影响时由应变能的表达式（11-5）代入卡氏第二定理得11.2.2卡氏第二定理式（11-9）称为莫尔积分，其中为i处施加单位力结构的弯矩方程，弯矩M(x)为原结构的弯矩方程。此法又称单位力法。11.3莫尔积分11.4计算莫尔积分的图形互乘法此种不用积分而两图形计算位移的方法称为图形互乘法，简称图乘法。弯矩图为分段直线

4、时，每一部分使用图乘法，然后求其总和即位移为式（11-10）中C代表M(x)分段图形的面积形心，AM代表M(x)分段图形的面积，代表弯矩图相应C处下的纵坐标。11.4计算莫尔积分的图形互乘法如M(x)弯矩图为分段直线时，位移又可表示为式（11-11）中C代表,分段图形的面积形心，代表分段图形的面积，MC代表M(x)弯矩图相应C处下的纵坐标。计算结果为正表示挠度方向和单位集中力方向一致或转角和单位集中力偶转向一致。Thankyou