高考数学选修知识讲解_《坐标系与参数方程》全章复习与巩固.doc

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1、《坐标系与参数方程》全章复习与巩固编稿:孙永钊     审稿:王静伟    【学习目标】1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程,了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【知识网络】【要点梳理】要点一:向量的有关概念1.极坐标系平面内的一条规定有单位长度的射线,为极点,为极轴,选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向)

2、,这就构成了极坐标系。2.极坐标系内一点的极坐标平面上一点到极点的距离称为极径,与轴的夹角称为极角,有序实数对就叫做点的极坐标。(1)一般情况下,不特别加以说明时表示非负数;当时表示极点;当时,点的位置这样确定:作射线,使,在的反向延长线上取一点,使得,点即为所求的点。(2)点与点()所表示的是同一个点,即角与的终边是相同的。综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应,即,,均表示同一个点.3.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(①极点与原点重合;②极轴与轴正半轴重合;③长度单位相同),

3、平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系:直角坐标化极坐标:;极坐标化直角坐标:.此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.4.直线的极坐标方程:(1)过极点倾斜角为的直线:或写成及.(2)过垂直于极轴的直线:5.圆的极坐标方程:(1)以极点为圆心,为半径的圆:.(2)若,,以为直径的圆:要点二:参数方程1.概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数:,并且对于的每一个允许值,方程所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系间的关系的变数叫做参变数(简称参数).相对于参数方程

4、来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。要点三:常见曲线的参数方程1.直线的参数方程(1)经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为:(为参数);其中参数的几何意义:,有,即表示直线上任一点M到定点的距离。(当在上方时,,在下方时,)。(2)过定点,且其斜率为的直线的参数方程为:(为参数,为为常数,);其中的几何意义为:若是直线上一点,则。2.圆的参数方程(1)已知圆心为,半径为的圆的参数方程为:(是参数,);特别地当圆心在原点时,其参数方程为(是参数)。(2)参数的几何意义为:由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点

5、的半径所成的角。 (3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3.椭圆的参数方程(1)椭圆()的参数方程(为参数)。(2)参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中,点对应的角为(过作轴,交大圆即以为直径的圆于),切不可认为是。(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成,为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4.双曲线的参数方程双曲线(,)的参数方程为(为参数)。5.抛物线的参数方程抛物线()的参数方程为(是参数)

6、。参数的几何意义为:抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数,即。【典型例题】类型一:极坐标方程与直角坐标方程例1.在极坐标系中,点关于极点的对称点的坐标是_____,关于极轴的对称点的坐标是_____,关于直线的对称点的坐标是_______,【思路点拨】画出极坐标系,结合图形容易确定。【解析】它们依次是或;;().示意图如下:【总结升华】应用数形结合,抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系,同时应注意点的极坐标的多值性。举一反三:【变式】已知点,则点  (1)关于对称点的坐标是_______,  (2)关于直线的对称点的坐标为______

7、__。【答案】(1)由图知:,,所以;  (2)直线即,所以或()例2.化下列极坐标方程为直角坐标方程,并说明它是什么曲线。(1);    (2);(3);    (4).【思路点拨】依据关系式,对已有方程进行变形、配凑。【解析】(1)方程变形为,∴或,即或,故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。(2)变形得,即,故原方程表示直线。(3)变形为,即,整理得,故原方程表示中心在,焦点在x轴上的双曲线。(4)变形为,∴,即,故原方程表示顶点在原点,开口向上的抛物线。【总结升华】极坐标方程化为直角坐标方程,关键是依据关系式,把极坐标方

8、程中的用x、y表示。举一反三:【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它们是什么曲线.(1); (2),其中;(3)  (4)【答案】:(1)∵,∴即,故原方程表示是圆.(2)∵,∴

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