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时间:2020-03-08
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1、排列组合加法原理:一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有种不同做法,……,第k类方法中有种不同的做法,则完成这件事共有N=种不同的方法。这就是加法原理。乘法原理:一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事一共有N=种不同的方法。这就是乘法原理。加法原理和乘法原理有什么区别?加法原理:先把方法分类,每一类的方法都能完成这件事。最后把这些方法相加。乘法原理:先把方法分步,每一步都不能独立
2、完成这件事,但是完成这件事,这些步骤缺一不可。最后把方法相乘。运用两个基本原理时要注意: ①抓住两个基本原理的区别,千万不能混. 不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法,可求得完成事情的不同方法总数. 不同步的方法(全程分成几个阶段(步),其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法,可求得完成整个事情的不同方法总数. ②在研究完成一件工作的不同方法数时,要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例:从若干件产品中抽出几件产品来检验,如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两
3、类:第一类抽出的产品中有2件次品,第二类抽出的产品中有1件次品,那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如:把能被2、被3、或被6整除的数分为三类:第一类为能被2整除的数,第二类为能被3整除的数,第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分. ③在运用乘法原理时,要注意当每个步骤都做完时,这件事也必须完成,而且前面一个步骤中的每一种方法,对于下个步骤不同的方法来说是一样的.排列组合 在实际生活中常遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法.就是排列问题.在排的过程中,不仅与参加排列的事物
4、有关,而且与各事物所在的先后顺序有关. 例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.问:应准备有多少种不同船票? 分析这个问题,可以用枚举法解决,三个城市之间,船票有下面六种设置方式: 如果不用枚举法,注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关,而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关,所以,要考虑共准备多少种不同的船票,就要在三个城市之间每次取出两个,按照起点、终点的顺序排列. 首先确定起点站,在三个城市中,任取一个为起点站,共有三种选法. 其次确定终点站,每次确定了一个起点站后,只能从剩下的两个城市之中选
5、终点站,共有两种选法.由乘法原理,共需准备:3×2=6种不同的船票. 为叙述方便,我们把研究对象(如天津、青岛、大连)看作元素,那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个,按照一定的顺序排成一列的问题.我们把每一种排法叫做一个排列(如天津——青岛就是一个排列),把所有排列的个数叫做排列数.那么上面的问题就是求排列数的问题. 一般地,从n个不同的元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列.叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 由排列的定义可以看出,两个排列相同,不仅要求这两个排列中的元素完全相同,而且
6、各元素的先后顺序也一样.如果两个排列的元素不完全相同.或者各元素的排列顺序不完全一样,则这就是两个不同的排列. 从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从 上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数,就是 一般地,从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)排成一列的问题,可以看成是从n个不同元素中取出m个,排在m个不同的位置上的问题,而 第一步:先排第一个位置上的元素,可以从n个元素中任选一个,有n种不同的选法; 第二步:排第二个位置上的元素.这时,由于第一个位置已用去了一个元素,只
7、剩下(n-1)个不同的元素可供选择,共有(n-1)种不同的选法; 第三步:排第三个位置上的元素,有(n-2)种不同的选法; … 第m步:排第m个位置上的元素.由于前面已经排了(m-1)个位置,用去了(m-1)个元素.这样,第m个位置上只能从剩下的[n-(m-1)]=(n-m+1)个元素中选择,有(n-m+1)种不同的选法. 由乘法原理知,共有: n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 种不同的排法,即: 这里,m≤n;且等号右边从n开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m个因数相乘.例1:小明和小王从北京出
8、发先到天津看海,然后再到上海东方明珠塔参观。从北京到天津可以做火车或者做公共汽车,坐火车有4种车次,坐公共汽车有3种车次;而从天津到上海可以坐火车,公共汽车,轮船或者飞机,火车有3种,汽车有5种,轮船有4种,飞机有2种。问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法?解:首先看
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