直线和圆锥曲线常考题型 (2).doc

直线和圆锥曲线常考题型 (2).doc

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1、直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型运用的知识:1、中点坐标公式:,其中()是点的中点坐标。2、弦长公式:若点在直线上,则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,或者。3、两条直线垂直:则两条直线垂直,则直线所在的向量4、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根,则。常见的一些题型:题型一:数形结合确

2、定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点,求的取值范围解:根据直线的方程可知,直线恒过定点(0,1),椭圆过动点,如果直线和椭圆始终有交点,则,即。规律提示:通过直线的代数形式,可以看出直线的特点:题型二:弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N:交于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(,0),使得是等边三角形,若存在,求出;若不存在,请说明理由。15解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线,,,。由消y整理,得①由直线和抛物线交于两点,得即②由韦达定理,得:。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方

3、程为:令y=0,得,则为正三角形,到直线AB的距离d为。解得满足②式此时。题型三:动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C:的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。15(I)求椭圆的方程;(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论解:(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。从而椭圆的方程为(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,,即点M的坐标为,同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N

4、的坐标为,直线MN的方程为:,令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:又,椭圆的焦点为,即15故当时,MN过椭圆的焦点。题型四:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E:上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。解:(I),且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:将点C代入方程,得,椭圆E的方程为(II)直线PC与直线QC关于直线对称,设直线

5、PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:15,即,由消y,整理得:是方程的一个根,即同理可得:===则直线PQ的斜率为定值。题型五:共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M:于P、Q两点,且,求实数的取值范围。解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一:方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点15消去x2,可得即y2=又-2y22,-22解之得:则实数的取值范围是。方法二:判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为:,由消y整理后,得P、Q是曲线M上的两点=即①由韦达

6、定理得:即②由①得,代入②,整理得,解之得15当直线PQ的斜率不存在,即时,易知或。总之实数的取值范围是。题型六:面积问题例题6、已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。(Ⅱ)设,。(1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。由已知,得。把代入椭圆方程,整理得,,。15。当且仅当,即时等号成立。当时,,综上所述。当最大时,面积取最大值。题型七:弦

7、或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点。(Ⅰ)若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求△ANB面积的最小值;(Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由。(Ⅰ)依题意,点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是==15.(Ⅱ)假

8、设满足条件的直线l存在,其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则=.===令,得为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为,即抛物线的通径

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