直线和圆锥曲线常考题型.doc

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1、直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，

2、（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆过点，且离心率。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。（Ⅱ）设，弦MN的中点A由得：，直线与椭圆交于不同的两点，，即………………（1）16由韦达定理得：，则

3、，直线AG的斜率为：，由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。题型：动弦过定点的问题已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数

4、关系。解（I）由题意设椭圆的标准方程为，（II）设，由得，，（注意：这一步是同类坐标变换）16（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，，，，，解得，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为练习2（2009辽宁卷文）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设

5、椭圆方程为，将点A的坐标代入方程：，解得，（舍去）所以椭圆方程为。（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设,,因为点在椭圆上，所以………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得16，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。……12分题型：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y

6、2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2，可得即y2=又－2y22，－22解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点，＝即①由韦达定理得：16即②由①得，代入②，整理得，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况

7、下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.

8、满分14分.解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：16，化简得.（Ⅱ）设直线的方程为：.设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，解法二：（Ⅰ）由得：，，，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.（Ⅱ）由已知，，得.则：.…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：.…………②由