2010-2014湖南高考文科压轴题答案.doc

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1、2010年湖南高考文科20（本小题满分13分）给出下面的数表序列：表1表2表3…11313544812其中表n(n=1,2,3,…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n-1，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{bn}，求和：.20.解：（Ⅰ）表4为13574812122032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32.它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将结

2、这一论推广到表n（n≥3），即表n各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.（Ⅱ）表n第1行是1,3,5，…，2n-1，其平均数是由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是），于是表n中最后一行的唯一一个数为.因此(k=1,2,3,…,n)，故21.（本小题满分13分）已知函数,其中且（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设函数（e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（Ⅰ）的定义域为，（1）若-1

3、a时，；当-a1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减.（2）若a<-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数.事实上，设，则，再设，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递,所以，由于，因此，而，所以，此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1上为减函数,且，由（Ⅰ）知，当a<-2时，在上为减函数①又②不难知道，因，令，则x=a或x=-2,而于是（1）当a<-2时，若a

4、单调递减；（2）当a＝-2时，,在上单调递减.综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以，③又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.因此，当时，h(x)在[a,1上为减函数，从而由①，②，③知综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数，且a的取值范围为.2011年湖南高考文科21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．解答：解：(Ⅰ)设动点P的

5、坐标为(x，y)，由题意得，化简得y2=2x+2

6、x

7、．当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x＜0)．(Ⅱ)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的的方程为y=k(x﹣1)．由，得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0．设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为﹣．设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．故====(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3

8、x4+x3+x4+11+2++1+1+2+4k2+1=8+4(k2+)≥8+4×2=16，当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．22、(2011•湖南)设函数．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性．(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1，x2，记过点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+∞)，f′(x)=1+，令g(x)=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，②当a＜﹣2时，△＞0，g(x

9、)=0的两根都小于零，在(0，+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，③当a＞2时，△＞0，g(x)=0的两根为x1=，x2=，当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x＞x2时，f′(x)＞0；故f(x)分别在(0，x1)，(x2，+∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．(Ⅱ)由(I)知，a＞2．因为f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+﹣a(l