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1、利用三角形面积的不同求法来解二次函数极值问题（例题）ABCD例题：如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB=6cm，AC=4cm，∠A=60°，则AD的长为cm．分析：本题我们可以通过先求出△ABC的面积，然后用AD做底，过B、C点向AD分别做高，即可求出AD的长。1．如图，已知直线及抛物线(≠0)，且抛物线C的图象上部分点的对应值如下表：x…-2-101234…y…-503450-5…(1)求抛物线C对应的函数关系式；(2)求直线与抛物线C的交点A、B的坐标；(3)若动点M在直线上方的抛物线C上移动，求△ABM
2、的边AB上的高h的最大值．2.（本题满分12分）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋x＋2交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）求证：△ABC为直角三角形；（2）直线x=m（0＜m＜4）在线段OB上移动，交x轴于点D，交抛物线于点E，交BC于点F．求当m为何值时，EF=DF？（3）连接CE和BE后，对于问题“是否存在这样的点E，使△BCE的面积最大？”6小红同学认为：“当E为抛物线的顶点时，△BCE的面积最大．”BCOADEF她的观点是否正确？提出你的见解，若△BCE的面积存在最大值，请求出点E的坐标和△BC
3、E的最大面积．图23、BC铅垂高水平宽ha图3A2阅读材料：如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运
4、动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；图12-2xCOyABD11(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.答案部分6FECBA例题：S△ABC=AB·AC·Sin60º先求出面积然后用AD做未知数DS△ABC=S△ADB+S△ADCAD=1题答案BCOADEFF2.题答案（1）对于y=－x2＋x＋26当y=0时,－x2＋x＋2=0解得x1=－1,x2=4;当x=0时,y=2∴A、B、C三点的坐标分别为A（－1,0）,B（4,0）,C（0,2）…………………（2分）∴
5、OA=1,OB=4,OC=2∴AB=OA+OB=5∴AB2=25在Rt△AOC中,AC2=OA2+OC2=12+22=5在Rt△COB中,BC2=OC2+OB2=22+42=20∴AC2+BC2=AB2………………………（3分）∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．……………………（4分）（2）解：∵直线DE的解析式为直线x=m,∴OD=m,DE⊥OB∵OC⊥AB∴OC∥DE∴△BDE∽△BOC……………………………………（5分）∴=∵OC=2,OB=4,BD=OB－OD=4－m,∴DF=当EF=DF时，DE=2DF
6、=4－m,∴E点的坐标为（m,4－m）………………………………（6分）∵E点在抛物线y=－x2＋x＋2上∴4－m=－m2＋m＋2解得m1=1，m2=4…………………………………（7分）∵0＜m＜4∴m=4舍去∴当m=1时，EF=DF…………………………………（8分）（3）解：小红同学的观点是错误的∵OD=m,DE⊥OB，E点在抛物线y=－x2＋x＋2上∴E点的坐标可表示为（m,－m2＋m＋2）∴DE=－m2＋m＋2∵DF=2－m6∴EF=DE－DF=－m2＋2m…………………………（9分）∵S△BCE=S△CEF+S△B
7、EF=EF·OD+EF·BD=EF·（OD+BD）=EF·OB=EF·4=2EF∴S△BCE=－m2＋4m=－（m2－4m+4－4）=－（m－2）2+4∴当m=2时,S△BCE有最大值,△BCE的最大面积为4;………………（10分）∵当m=2时,－m2＋m＋2=3∴E点的坐标为（2,3）………………（11分）而抛物线y=－x2＋x＋2的顶点坐标为（,）∴小红同学的观点是错误的………………………………（12分）3题答案．解：(1)设抛物线的解析式为：1分把A（3,0）代入解析式求得所以3分设直线AB的解析式为：由求得B点的
8、坐标为4分把，代入中解得：所以6分(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝28分(平方单位)10分6(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则12分由S△PAB=S△CAB得：化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为14分6
