2014高三二轮复习函数与方程及函数的应用.doc

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1、函数与方程考点一　函数的零点例1　(1)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当23，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2

2、－b<0，即f(2)<0.∵1<<，30，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝lnx和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③

3、两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，

4、其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案　(1)1　(2)－1解析　(1)因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝＝log32

5、二　与函数有关的自定义问题例2　若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是________．先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题

6、的正确性．答案　1解析　对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f(x)是“－伴随函数”，则f(x＋)＋f(x)＝0，取x＝0，则f()＋f(0)＝0，若f(0)，f()任意

7、一个为0，函数f(x)有零点；若f(0)，f()均不为0，则f(0)，f()异号，由零点存在性定理，知f(x)在(0，)内存在零点x0，所以④正确．函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系

8、内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的图象上的“镜像点对”有________对．答案　3解析　依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x0>0)，若点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有所以log3x0＝cosπx0，即x0是方程log3x＝cosπx的根．在同一