函数与方程及函数的应用

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1、第八讲函数与方程及函数的应用知识要点1.方程的根与函数的零点:(1)函数的零点:对于函数,把使方程的实数根叫做函数的零点,即函数的图象在内与轴的交点的横坐标;(2)方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点;(3)函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与的图象交点的横坐标;(4)如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且,则函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也是方程的实根;(5)函数零点个数的确定方法:①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解;③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题

2、,常用图象进行解决;④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.2.用二分法求方程的近似解:(1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ)若,则令(此时零点);(ⅲ)若,则令(此时零点);④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.3.几类不同增长的函数模型:①

3、指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越大(底数),常称为指数爆炸;随着的增大,的图象表现为与轴平行;②对数函数模型:能用对数型函数表达的函数模型叫做对数函数模型.对数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数);随着的增大,的图象表现为与轴平行;③幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函数模型.幂函数增长的特点是当时,随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快;当时,随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢;④总会存在一个,当时,都有.例题

4、分析例1.求下列函数的零点.(1);(2);(3)分析:将以上函数分解因式后,令其等于零求解.解:(1),令,解得,即函数的零点为;(2),令,解得或,即函数的零点为或.(3)解:令,化得,解得或或,所以函数的零点分别为或或.例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围.分析:这类题为方程的是实根分布问题,要注意结合图象，从韦达定理、对称轴、函数值的符号及开口方向等方面去考虑，使结论成立的所有条件.解:设函数的两个零点为与,且,则,化简得,解得，所以实数的取值范围为.例3.求方程在内的根(精确到).分析:根据二分法求函数零点近似值的步骤进行求解

5、,使区间长度小于精确度即可.解:令,因为,所以取作为初始区间,用二分法列表如下:中点端点或中点函数值取区间因为,且,所以所求方程的根的近似值为.例4..某城市现有人口总数为万人,如果年自然增长率为,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式;(2)计算年后该城市人口总数；(3)计算大约多少年后,该达到万人(精确到年);(4)如果年后该城市人口总数不超过万人,人口年增长率应控制在多少?(已知,,).分析:本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系,从而得到一般规律.解:(1)年后该城市人口总数为,年

6、后人口总数为：,年后人口总数为,---------------年后人口总数为,(2)年后人口总数为(万);(3)因为,则;(4)设年增长率为,则,解得,即,所以人口年增长率应控制在.例5.某皮鞋厂从今年月份开始投产,并且前个月的产量分别为万双、万双、万双、万双,由于产品质量好,前几个月的销售情况良好,为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量,厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程,厂里暂时不准备增加设备和工人,假如你是厂长,就月份和产量的关系,给出四种函数模型:,,,,你将利用哪种模型去估算以后几个

7、月的产量?分析:通过数据验证,确定系数,再分析确定后的函数变化情况,最终找到与实际最接近的函数模型.解:由题知(1)设模拟函数为,将两点代入函数式有,解得,所以函数为,评价:此法的结论是在不增加设备和工人的条件下,产量会月月上升双,这是不可能的;(2)设模拟函数为,将三点代入函数式有,解得,所以函数为.将代入得评价:将代入得,即比实际产量少了双,由二次函数的性质可知,从月份开始产量将月月下降(图象开口向下,对称轴为),不合实际;(3))设模拟函数为,将两点代入函数式有,解得,所以函数为,评价:将代入得,将代入得,与实际产量差距较大；(4))设模拟函

8、数为将三点代入函数式有,解得,所以函数为.评价:将代入得；比较以上四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实