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1、第一章函数、极限与连续分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁第一章函数与极限1.1函数及其图像1.2函数极限1.3无穷小量与无穷大量1.4数列的极限1.5两个重要极限1.6无穷小的比较1.7连续函数及其性质1.1函数及其图像一、集合二、常量、变量、函数三、函数的初等性质四、函数的初等运算五、基本初等函数与初等函数六、函数关系的建立重点：函数的概念、初等函数难点：复合函数1.1.1基础知识回顾1.集合:具有某种特定性质的对象（事物）的总体.组成这个集合的对象称为该集合的元素.有限集（列举表示）无限集（命题式表示）集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示2.实数与数轴O1
2、-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的集合一一对应例如不含任何元素的集合称为空集例如规定空集为任何集合的子集.A是B的子集,或称B包含A,若且则称A与B相等,例如,,记作记作定义2.若设有集合A，B，必有3.集合之间的关系则称定义3.给定两个集合A,B,定义下列运算:并集交集且差集且余集直积记为平面上的全体点集或AB4.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,记作（a,b）称为闭区间,记作[a,b]称为半开区间,记作[a,b)称为半开区间,记作(a,b]有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.5.邻域:点
3、a的去心的邻域，记作设a和数集称为点a的邻域.是两个实数，且点a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径.几个逻辑符号表示对“任意一个”、“对每一个”表示“存在一个”、“至少有一个”使得“”表示“蕴含”，“可推出”“”“”表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价”“满足方程”在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“对每一个”,或“任取”,或“任意给定”;“”表示“存在”,或“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archimedes)公理:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:练习6.绝对值:运算性质:绝对值不等式:1.1.2函数在某过
4、程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.常量变量因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域函数定义：设是一个非空集合，f是一个确定的法则，如果通过法则f，存在唯一的则称由f确定了一个定义于D上，取值于R的函数，记作与x相对应，当时，称为函数在点处的函数值.函数值全体组成的数集称为函数的值域.函数的两要素:定义域与对应法则.约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.定义:说明：⑷不同的对应法则表示不同的函数,如)(xfy=
5、、)(xgy=、)(xyj=等等。⑸函数有三种表示法：图象法、表格法.⑹在解析法中,函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数,例如:圆的面积S与半径R的关系是、解析法一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称为分段函数。这种函数例如，某市出租车的乘车费y(元)与里程x(公里)之间的关系是：注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数。函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域若函数式是上述各式的混合式,则应
6、取各部分定义域的交集例1求下列函数的定义域练解(2)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数xyO12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷函数(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数[5.3]=5,[-4.5]=-5.(5)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解下列各题例2解:故定义域是[-3,-1].因为f(x)的定义域是[0,2],所以对f(x+3)的有0≤x+3≤2,即-3≤x≤-1,故f(x+3)的定义域是[-3,-1].例3脉
7、冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例4.已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域1.1.3函数的几种特性1．函数的有界性(bounded):M=1-M=-1有界的充分必要条件是既有上界又有下界。xyo例.注有界的几何意义如左下图.有界无界:无界2．函数的单调性(monotonicity):xyo当时,恒有称f(x)为I上的单调增函数.设函数f(x)的定义域是
