向量共线问题证明共线问题常用方法.ppt

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1、向量的共线问题证明共线问题常用的方法.（1）向量共线存在唯一实数λ,使(2)向量=(x1,y1),=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0;(3)向量与共线(4)向量与共线存在不全为零的实数λ1,λ2，使【例1】已知A(-1,1),B(1,5),C(-2,-5),D(4,7),试判断两线段是否共线？【审题指导】题目中给出了四个点的坐标，由此可得两向量的坐标表示.要判断是否共线，首先看是否满足，再说明线段AB与CD是否有公共点.【规范解答】∵=(2,4),=(-1,-6),∴-1×4-(-6)×2=-4+12=8≠0.∴不共线，即点C不在直线AB上，同理点D也不在直线AB上，直线AB

2、与CD不共线，即线段AB与CD不共线.【例2】已知=(1,2),=(-3,2).若平行，求实数k的值.【审题指导】本题考查由两向量的共线求参数的问题，要求学生熟练掌握两向量共线的条件.通过两向量共线可得坐标的关系，列出等式，求得参数的值.【规范解答】方法一：向量平行，则存在唯一实数λ，使∵=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4).=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),∴(k-6,2k+4)=λ(14,-4).即实数k的值为-1.方法二：∵=k(1,2)+2(-3,2)=(k-6,2k+4),=2(1,2)-4(-3,2)=(14,-4),平行，∴（k-6）×(-4)-(

3、2k+4)×14=0.解得k=-1.向量的夹角和垂直问题1.两向量的夹角公式.非零向量=(x1,y1),=(x2，y2)的夹角为θ，则有2.两向量垂直的条件.要分清两向量垂直的条件和两向量平行的条件坐标表示的区别.【例3】设两个向量，满足｜

4、=2,

5、

6、=1,的夹角为，若向量的夹角为钝角，求实数t的范围.【审题指导】题目中给出向量的夹角以及｜｜=2和

7、

8、=1等条件，由公式cosθ=可得θ若为钝角，则cosθ＜0且cosθ≠-1，即＜0.同时也应注意向量的共线反向这一情况.【规范解答】由已知∵θ为钝角，∴2t2+15t+7<0,得-7

9、△ABC的三条高线交于一点.【审题指导】证明本题的关键是先找出其中两条高线的交点，然后让另一个顶点与该点的连线与其对边垂直.【规范解答】如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，设BE，CF交于点H，且令可得因为所以所以运算并化简得所以又AD⊥BC且AH∩AD=A,所以A、H、D三点共线，所以AD，BE，CF相交于一点H.即△ABC的三条高交于一点.向量模的问题解决向量模的问题常用的策略（1）应用公式：｜｜=(其中=(x,y));（2）应用三角形或平行四边形法则；（3）应用向量不等式(4)研究模的平方【例5】【审题指导】本题主要考查向量的模的运算及向量数量积的运算，可以用平方求解法，也可

10、以由=1，设出的坐标，化为坐标运算.【规范解答】方法一：方法二：设=(x1,y1),=(x2,y2),∵=1,∴x12+y12=x22+y22=1.∵=(3x1-2x2,3y1-2y2),==3,∴x1x2+y1y2=,∴待定系数法解决向量问题待定系数法在向量中的应用待定系数法是数学中一种非常重要的方法，对于某些数学问题，若已知所求结果具有某种确定的形式，则可引入一些尚待确定的系数（或参数）来表示这样的结果，通过变形比较，建立起含有待定字母系数（或参数）的方程（组），并求出相应的字母（或参数）的值，进而使问题获解，这种方法称为待定系数法，在向量中，这种方法也被广泛应用，如平行向量基本定理、平

11、面向量基本定理就是这种方法的体现形式.【例6】如图，在△ABC中，M是BC的中点，N在AC上且AN=2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值.【审题指导】题目中给出了M点是△ABC的边BC的中点，AC边上的点N满足AN=2NC，欲求AP∶PM的值，可适当选取基底表示出因为点A、P、M共线，若有则λ为AP∶PM的值.【规范解答】∵A、P、M与B、P、N共线,∴AP∶PM=4∶1.平面向量的应用平面向量两个方面的应用(1)在平面几何中的应用.向量的加法运算和全等、平行，数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.(2)在物理中的应用.主要

12、解决力、位移、速度等问题.【例7】已知正方形ABCD,E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：（1）BE⊥CF；（2）AP=AB.【审题指导】本题欲求证线段垂直和相等，可转化为向量的垂直和向量的模相等问题.已知正方形ABCD，可建系设点，把向量用坐标表示出来，用向量的有关知识解决.【规范解答】如图建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2，则A(0,0),B(2,0),C(2,2)