ANSYS基础与实例教程 教学课件 作者 张洪信第2章.ppt

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1、第2章有限单元法基础理论2.1.1平面问题有限元法平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。设有很薄的均匀薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化，记薄板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴．由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度变化，可以认为恒有平面应力问题不为零的应力分量为2.1结构静力学问题有限元法平面问题有限元法设有无限长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化。以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，由于对称性（任一横截面都

2、可以看做对称面），此时平面应变问题不为零的应变分量为二维连续介质用有限单元法分析的步骤:分割成有限个三角形单元,假定各单元在节点上互相铰接，节点位移是基本的未知量;选择一个函数，用单元的三个节点的位移惟一地表示单元内部任一点的位移，此函数称为位移函数（位移模式）;用节点位移惟一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用节点位移可惟一地表示单元内任一点的应力;利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力；再利用单元应力与节点位移的关系，建立等效节点力与节点位移的关系;（最重要一步）将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到节点上在每一节点建立用节点位移表示的

3、静力平衡方程，得到一个线性方程组；解出这个方程组，求出节点位移；然后可求得每个单元的应力。1单元的位移模式及插值函数逆时针方向编码为正向。节点位移为图2-13节点三角形单元δe=[ui,vi,uj,vj,um,vm]T1单元的位移模式及插值函数单元的位移模式（也称位移函数和插值函数）一般采用多项式作为近似函数β1～β6是待定系数，称之为广义坐标。1单元的位移模式及插值函数A为三角形的面积(i，j，m)表示下标轮换，如i→j，j→m，m→i。1单元的位移模式及插值函数可将单元位移函数表示成节点位移的函数Ni，Nj，Nm称为单元的插值基函数或形函数，它是坐标x、y的一次

4、函数。单元上任一点的形函数之和为1。写为矩阵的形式2.应变矩阵作为平面问题，单元内具有3个应变分量εx、εy、γxyB称为应变矩阵，写为分块形式B=[BiBjBm]，反应单元应变与节点位移之间关系。3节点三角形单元的B是常量阵，所以称为常应变单元。除非特别说明，不考虑温度影响。3.单元应力对平面应力问题，取应变分量D为弹性矩阵解出代入3.单元应力S为应力矩阵，反映了单元应力与单元节点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为常量，所以单元边界上有应力阶越，随单元划分变密，突变将减小。3.单元应力对平面应变问题，有四个应力分量：σx、σy、τxy和σz。取应变分量由应变

5、分量解出σx、σy、τxy，σz根据物理方程可以求解各应力分量。4.单元刚度矩阵单元节点力为Fe，节点虚位移为(δ*)e，节点虚应变为(ε*)e，平面单元的厚度为t。应用虚位移（虚功）原理可见单元刚度矩阵为4.单元刚度矩阵进一步表示为对平面应力问题有单元刚度矩阵为对称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具有奇异性。5.等效节点载荷依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。对设单元ijm内坐标为(x，y)的任意一点M受有集中载荷f=[fxfy]T，移置为等效节点载荷Pe

6、=[XiYiXjYjXmYm]T。假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为u*=NT(δ*)e，其中(δ*)e为单元节点虚位移。(1)集中力的移置5.等效节点载荷(2)体力的移置单位体积的体力记为q＝[qxqy]T，其等效节点荷载为(3)面力的移置设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=[pxpy]T，在此边界上取微面积tds，对整个边界面积分5.等效节点载荷例2-1求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图示ij边受x方向均布力p、图示jm边受x方向线性分布力。6.整体分析结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结

7、构物进行分析，分析过程是将所有单元的单元刚度方程组集成总体刚度方程，引进边界条件后求解整体节点位移向量。求出各单元刚度矩阵，利用大域变换法求出结构整体刚度矩阵[K]，引入边界条件，得到结构的节点平衡方程进而，求解节点位移、单元应力和应变。6.整体分析例2-2如图所示，一悬臂梁，自由端受合力为P的均布力作用，梁厚t=1，μ=1/3，求节点位移。结构为平面应力问题，划分为2个三角形单元①、②，有四个节点1、2、3、4，坐标分别为（0，0）、（2，0）、（2，1）、（0，1）。单元①、②节点顺序分别取3、1、2和1、3、4，刚度矩阵完全一样。对单元①：bi=0，bj=