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《网络本科数学_实变函数期末模拟题答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实变函数期末模拟题答案一、设是上的外测度，且有,证明.证明：由二、设是不可数集，试证明存在，使得对于任一内含的圆域，点集为不可数集.证明：假设这样的点不存在，即任意与已知矛盾.故这样的点存在.三、设则对任何可测集有证明： 由Fatou定理有……（1）同理有．运用性质，若存在，则……（*）于是有 = =……（2）综合（1）（2），得即∴=即．四、设则且证明：，∴∴，且对应用Fatou定理∵，即∴=∴∴五、设，则当且仅当．证明：由函数，从而由此“”又+ 由从而．“”若，又由控制收敛定理知：．六、设则证明：
2、 因为,由定义知，对存在一组分点，使 (1)作上的函数，当时，令,当时，令,其中为常数,它们这样选择：且于是有由(1)知：．又当时，若属于同一区间时，由(2)知：若不属于同一个时，不妨设,则有所以为单调不减函数．所以所以，故级数收敛．由例题2得：在上几乎处处收敛，于是几乎处处有即在上．由得，在上，．七、设，则有集B，使，且.证 ∵∴存在开集列，使()，∴．取，显然满足条件．八、设，则．证 由，要证．由已知，，即，即于是，注意到是单调下降集列，如果能够证明当充分大时，有．就可以应用公式，从而完成Egorov定理类似证明的余下
3、步骤．一样地证明（Egorov定理强调全空间是有限测度，关键就用在自动使，现在来考虑还没用上的已知条件：，我们就可以立即想到L-控制收敛定理成立，得到．取定，就有使当一切，有：即，故定理条件得到满足．故本题实际上已证毕．九、设，对其他令；，．则；在任何区间上无界；在任何区间上不可积．证明： ①（Levi定理推论）=（平移不变性）==故．②由，而，在中稠密那么任给一个区间，存在当时，不妨设各且则=故在任一区间上无界已得证．同理，由本质上说明当（这时积分是认为存在的）．这种现象对任一区间要出现，于是（不妨设）故十、设则其中证明
4、： ,由康托定理:在上一致连续当时，有又对上述分划使取任何分划当时对每个使,其中因为又所以所以所以所以所以，所以，其中．十一、设f：R→R可测，，则．证 因为若f是R上的连续函数，且满足，则必有．故只须证f是R上的连续函数．任意自然数n>2，证f在上连续，由Luzin定理，取闭集使得，且f在E上连续．有由f在E上连续，有，当时，．下面证：当，且时，也有，记，今证必有，使得．只要证其中．∵∴∴∴∴对若则∴上连续，故f在R上连续．则命题得证．十二、设有界，恒存在，则在任何有限区间上可积．证 设，则，记，则因为有界，故．令则即=
5、0，从而．因为，故几乎处处连续，由Th3．4．1知在任何有限区间上可积．十三、设．则当时分别为的正变差与负变差．证 (1)“”由,则由上题有所以是的不定积分，由得故“”由，对当是中有限个互不相交的区间，且时：有所以，但，所以，所以．(2)由又所以所以．十四、设则证明： 对作任意分划由于由5.3.5知：由分划的任意性得：，以下证明相反的不等式：设,其中or，则对于存在一阶梯函数使得：作函数由上知：，但在上几乎处处收敛于,且由控制收敛定理：综上：．十五、设解：可知x属于无限多An，因此有因此，若2n-1>N时，十六、证明：若是
6、定义在E上的一列函数，且对任意,，，…，则对任意，是单调递增集合列，且.证明先证明为单调集合列,,均有,则有即，故，而反之不成立，故是单调递增集列，故十七、叙述并证明鲁津定理的逆定理.鲁津定理逆定理:设是E上的函数，对于，使得在上是连续函数，且有证明：对，闭子集，使在上连续，且.令,,则当而其中a是任意实数，所以是可测集.由于上连续，可知可测，则也是可测集.所以是可测的.因此是E上的可测函数.又由于在上有限，从而在上有限，且,所以在E上a.e.有限.十八、设函数列在E上依测度收敛于，且a.e.于E，n=1,2,...试证明
7、在E上几乎处处成立.证明：因为，则存在在E上a.e.收敛到.设不收敛到的点集..则在上收敛到，所以=在上成立.即在E上几乎处处成立.十九、设在上依测度收敛于，且在上有界。证明若g在R上连续，则在上依测度收敛于g。若在上无解，结论是否仍成立？若改为，结论是否还成立？证明（1）因为,则对任意，都有，则由Riesz定理可知，存在，使a.e.于E，故即对任意，存在，由习题12可知。（2）成立（3）结论不一定成立，反例：设，则但对任意，E=故，.故.二十、设E是上的可测集，且m(E)0,证明：对任何，必存在区间(a,b),使证明：由
8、于取开集G，对给定的，取开集G，使,且m(G)即cm(G)设是G的构成区间..于是，至少存在一个k，使得.只要取（a,b)=,命题得证.二十一、设fn为E上可积函数列，limn→∞fx=fxa.e.于E且为常数,则fx可积.证明设E0=fn→f.对任意x∈E0，有limn→∞fnx=fx，从而limn→
