实变函数期末试题.doc

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1、2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题一、填空：（共10分）1．如果则称是自密集，如果则称是开集，如果则称是，称为的.2．设集合可表示为一列开集之交集：，则称为.若集合可表示为一列闭集之并集：，则称为.3．（Fatou引理）设是可测集上一列非负可测函数，则.4．设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集，则称为上的，并称这个数集的上确界为在上的，记为.二、选择填空：（每题4分，共20分）1．下列命题或表达式正确的是A．B．C．对于任意集合，有或D．2．下列命题不正确的是A．若点集是无界集，则B．若点集是有界集，则C．可数点集的外测度为零D．康托集的测度为零3．下列表

2、达式正确的是B．D．4．下列命题不正确的是A．开集、闭集都是可测集B．可测集都是Borel集C．外测度为零的集是可测集D．型集，型集都是可测集5．下列集合基数为（可数集）的是A．康托集B．C．设是整数，D．区间中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设，是上有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于五、（10分）证明六、（10分）设是满足Lipschitz条件的函数，且于，则为增函数七、（10分）设是上的有界变差函数，证明也是上的有界变差函数2006—2007学年第二学期04本实变函数期末试题A类评分标准一、填空题：（共10分）1、,

3、（或）闭集，闭包2、型集，型集3、4、有界变差函数，全变差，二、选择填空：（每小题4分，共20分）1、D2、A3、D4、B5、C三、（20分）定理：设有限于，若对于任意的，总有闭集，使，且在上连续，则是上的可测函数.（5分）证对任意的正整数，存在闭集使，且在上连续，从而在上可测（5分）设，则是可测集，且，于是在上可测（5分）由于，只须证在上可测，事实上，对任意的，是可测集在上可测在上可测（5分）四、（20分）证明在上可测，由Lusin定理，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有（7分）所以对任意的，成立，（3分）因此（5分）由F.Riesz定理，存在的子

4、列，使于，记，则于（5分）五、（10分）证明设则在上连续，因而可积可积，且（5分）取，则，而由Lebesgue有界收敛定理（5分）六、（10分）证因为满足Lipschitz条件，所以是绝对连续函数，对任意的，由牛顿—莱布尼兹公式（1）（2）（5分）（2）—（1）是上的单调函数（5分）七、（10分）证是有界变差函数，因而是有界函数，于是，（3分）对的任意分划有（5分）因此也是上的有界变差函数（2分）