开放教育数学本科实变函数50问

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1、开放教育数学本科《实变函数》50问1.设.则　　(1)，　　(2).　　证(1)设，则存在，使得于是，从而，故.　　设，从而，故.　　综上证得. 2．证明的充分必要条件是．   　　                                  ．      又，所以的充分必要条件是，即．3．证明．    证明      22                                                                         4.　定理1.3.1 集合为可列集的充分必要条件是它的全体元素可排成一个无穷序列的形式：　　   

2、         （1.3.1）　　　证 若具有式（1.3.1）的形式，则将的元素与其下标对应，从而得到的一个双射，所以是可列集．   　反之，若是可列集，则存在到的双射．我们把与对应的元素排在第位，并记作，这就将写成了式（1.3.1）的形式．由定理1.3.1可知下面一些集合都是可列集：　　　　　　全体整数所组成的集合也是可列集，因为它可以排成无穷序列的形式：5.定理1.3.2　　任何无限集都包含一个可列子集．  　证 设是无限集，则．任取，由于是无限集，故．于是可从中任取一元素，记为．显然，并且，重复上述作法，假设已从中取出个互异元素.由于22是无限集，故.于是又可从

3、中取一元素，则且与都不相同，由归纳法就得到中的一无限子集，它显然是的一个可列子集．　　这个定理告诉我们：在所有无限集中，可列集的基数是最小的．6.定理1.3.3 　　(1)可列集的子集至多可列（有限或可列）；   　　(2)若是可列集，是有限集且，则为可列集．　　证明　　(1)设是可列集的子集.如果不是有限集合，则由定理1.3.2，有可列子集.于是，．从而由推论1.2.1可知.即也是可列集合.　  (2)因为是可列集，故可将记为因为是有限集，设中有个元素，则可记为于是也就是说，中的元素可排成无穷序列，所以是可列集．7.定理1.3.4 　　设，都是可列集，且，则仍是可列集

4、.   　　证 因，都是可列集，则它们可分别写成无穷序列的形式：　　　　　　于是可写成22　　故是可列集.8.推论1.3.1 设是可列集，是有限集或可列集，则是可列集.   　　证 令，则为至多可列集（定理1.3.3之(1)），而，，故由前面定理知是可列集.  9.　定理1.3.5 设皆为可列集，则仍是可列集.   　　证 (1)设.   　　　　因是可列集，故可写成于是可按下述箭头顺序　　　             ↙ ↗　　　　　　　　↗　　　　………………………　　把的全部元素排成各项互异的无限序列，即从而是可列集．22(2)一般情形.　　令，.则，且.   　　

5、每个都是至多可列的(由定理1.3.1).如果均为可列集，由上述(1)之证明可知，为可列集.如果有某些是有限集.这时可将视为一个可列集的无限子集，因而是可列集.从而证得是可列集.10.定理1.3.6 有理数集是可列集.   　　证 我们用，分别表示正有理数集和负有理数集，显然有 且 所以只须证或是可列集即可.   　　因为每个正有理数都可写成既约分数的形式：，故令显然对每个，是可列集.而，由定理1.3.5可知是可列集，从而也是可列集，所以是可列集.   11.设是直线上一族两两互不交的非空开区间所组成的集合，则至多是一个可列集.   　　证 由有理数集的稠密性可知，每一个

6、开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合.因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集与开区间组成的集合是一一对应的(即双射).而是有理数集的子集，故至多可列，所以亦至多可列.2212.定理1.3.7 设中每个元素都由个相互独立的指标所决定，而每个指标各自在一个可列集上独立变化，即则是可列集.   　　证 用数学归纳法.时定理显然成立.假设时，定理成立，需证时定理也成立.　　设中满足（不变，固定为）的元素全体记为，则由假设为一可列集.而由定理1.3.5知，是可列集.13.平面上坐标为有理数的点的全体所组成的集为一可列集.   　　证 设表示平面

7、上坐标为有理数的点组成的集合.因为有理数集可列，所以中的每个元素可由两个独立的指标所决定，并且每个指标各自独立地跑遍一个可列集.于是由定理1.3.7可知是可列集. 14.整系数多项式的全体是一可列集.   　　证 先固定，由定理1.3.7，整系数的次多项式的全体是一可列集.再定理1.3.5即得.   15.　定理1.4.1 区间是不可列集.　　证 用反证法.若定理结论不成立，即假设是可列集，则中的全部点能排成两两互异的无限序列，即可写为　　    （1.4.1）　　下面来推出矛盾.为此，只须从中找出一点，使它不等于式(1.4.1)式右端序