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时间:2020-03-07
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1、指数函数及性质【学习目标】1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;2.掌握指数函数图象:(1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质;(2)掌握底数对指数函数图象的影响;(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别.3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;5.通过对指数函数的研究,要认识
2、到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题.【要点梳理】要点一、指数函数的概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.要点诠释:(1)形式上的严格性:只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数.像,,等函数都不是指数函数.(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:①如果,则②如果,则对于一些函数,比如,当时,在实数范围内函数值不存在.③如果,则是个常量,就没研究的必要了.要点二、指数函数的图象及性质:y=ax0
3、1时图象图象性质①定义域R,值域(0,+∞)②a0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点③ax=a,即x=1时,y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时,ax>1x>0时,00时,ax>1⑥既不是奇函数,也不是偶函数要点诠释:(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论.(2)当时,;当时.当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快.当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快.(3)指数函数与的图象关于轴对称
4、.要点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1)①②③④则:0<b<a<1<d<c又即:x∈(0,+∞)时,(底大幂大)x∈(-∞,0)时,(2)特殊函数的图像:要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.【典型例题】类型一、函数的定义域、值域例1.求下列函数的定义域、值域.(1);(2)y=4x-2
5、x+1;(3);(4)(a为大于1的常数)【答案】(1)R,(0,1);(2)R[);(3);(4)(-∞,-1)∪[1,+∞)[1,a)∪(a,+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR,3x≠-1).∵,又∵3x>0,1+3x>1,∴,∴,∴,∴值域为(0,1).(2)定义域为R,,∵2x>0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数是增函数,所以,即,即,值域是.(4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞)
6、,又∵,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(4)小题中不能遗漏.举一反三:【变式1】求下列函数的定义域:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1时,;01时,;07、,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系.类型二、指数函数的单调性及其应用例2.讨论函数的单调性,并求其值域.【思路点拨】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3]【解析】解法一:∵函数的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2,∴,,.(1)当x1<x2<1时,x1+8、x2<2,即有x1+x2-2<0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知.又对于x∈R,恒成立,∴.∴函数在(-∞,1)上单调递增.(2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知.∴.∴函数在[1,+∞)上单调递减.综上,函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1,,.∴函数的值域为(0,3].解法二:∵函数的定义域为R,令u=x
7、,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系.类型二、指数函数的单调性及其应用例2.讨论函数的单调性,并求其值域.【思路点拨】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3]【解析】解法一:∵函数的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2,∴,,.(1)当x1<x2<1时,x1+
8、x2<2,即有x1+x2-2<0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知.又对于x∈R,恒成立,∴.∴函数在(-∞,1)上单调递增.(2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知.∴.∴函数在[1,+∞)上单调递减.综上,函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1,,.∴函数的值域为(0,3].解法二:∵函数的定义域为R,令u=x
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