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时间:2018-10-18
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1、指数函数及其性质编稿:丁会敏审稿:王静伟【学习目标】1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;2.掌握指数函数图象:(1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质;(2)掌握底数对指数函数图象的影响;(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别.3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值
2、,更善于从现实生活中发现问题,解决问题.【要点梳理】要点一、指数函数的概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.要点诠释:(1)形式上的严格性:只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数.像,,等函数都不是指数函数.(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:①如果,则②如果,则对于一些函数,比如,当时,在实数范围内函数值不存在.③如果,则是个常量,就没研究的必要了.要点二、指数函数的图象及性质:y=ax01时图象图象性质①定义域R,值域(0,+∞)②a0=1,即
3、x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点③ax=a,即x=1时,y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时,ax>1x>0时,00时,ax>1⑥既不是奇函数,也不是偶函数10要点诠释:(1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论。(2)当时,;当时。当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快。当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快。(3)指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1)①②③④则:0<b<a<1<d<c又即:x∈(0,
4、+∞)时,(底大幂大)x∈(-∞,0)时,(2)特殊函数的图像:要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.【典型例题】类型一、指数函数的概念例1.函数是指数函数,求的值.【答案】2【解析】由是指数函数,可得解得,所以.【总结升华】判断一个函数是否为指数函数:10(1)切入点:利用指数函数的定义来判断;(2)关键点:一个函数是指数函数要求系
5、数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量.举一反三:【变式1】指出下列函数哪些是指数函数?(1);(2);(3);(4);(5);(6).【答案】(1)(5)(6)【解析】(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)=,符合指数函数的定义,而(2)中底数不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数的乘积;(4)中底数,所以不是指数函数.类型二、函数的定义域、值域例2.求下列函数的定义域、值域.(1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a为大于1的常数)【答案】(1)R,(0,1);(2)R[);(3);(4)(-∞,
6、-1)∪[1,+∞)[1,a)∪(a,+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR,3x≠-1).∵,又∵3x>0,1+3x>1,∴,∴,∴,∴值域为(0,1).(2)定义域为R,,∵2x>0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数是增函数,所以,即,即,值域是.10(4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),又∵,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题中
7、不能遗漏.举一反三:【变式1】求下列函数的定义域:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1时,;01时,;08、】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上
8、】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上
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