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时间:2020-03-07
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1、.第一期思维训练班数学讲义(六)指数函数专题题型一:指数运算例一.(1)化简(a,b为正数)的结果是_______________.(2)=_____________.题型二:指数函数定义域、值域例二.(1)函数的定义域为R,求实数的取值范围.(2)函数的值域为,求实数的取值范围.题型三:指数函数单调性例三.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为( ).A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)题型四:判断奇偶性例四.判断函数的奇偶性.题型五:解指数方程、不等式例五.(1)解方程.(2)解不等式.
2、题型六:不等式恒成立问题例六.函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,求a的取值范围...强化训练1.函数在R上是减函数,则的取值范围是().A.B.C.D.2.不论a为何值时,函数恒过定点,则这个定点的坐标是( ).A.B.C.D.3.若,那么的值为( ). A.1B.2C.5D.1或54.若关于的方程有解,则的范围是( ). A.B.C.D.5.函数的图象的大致形状是( ).6.若关于x的方程有两个不等实根,则a..的取值范围是( ).A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.
3、(0,)7.若指数函数在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于().A.B.C.D.8.设,则( ).A.B.C.D.9.函数是指数函数,则__________.10.函数在区间上的值域是__________.11.函数在区间上有最大值14,则的值是__________.12.若函数的定义域和值域都是,则实数a的值为________.13.已知,且,求的值.14.已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)证明:...15.已知.(1)判断的奇偶性;(2)讨论的单调性;(3)当恒成立,求的取值范
4、围.16.已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求的值;(2)若对任意t∈R,不等式恒成立,求的取值范围.指数函数参考答案命题:焦雷例题一:(1).(2)100.例题二:(1).(2).例题三:答案:D.因为f(x)在R上是增函数,故结合图象知,解得4≤a<8.例题四:奇函数.例题五:(1).(2)...例题六:解:由题意得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a>-在x∈(-∞,1]上恒成立.又因为-=-()2x-()x,设t=()x,∵x≤1,∴t≥且函数f(t)=-t2-t=-(t+)2+(t≥)在t=时,取到最
5、大值.∴()x=即x=1时,-的最大值为-,∴a>-.强化训练1-5DCDAD6-8DDC.9.答案:2.10.答案:.11.3或.解:令,则,函数可化为,其对称轴为. ∴当时,∵, ∴,即. ∴当时,. 解得或(舍去); 当时,∵, ∴,即, ∴时,, 解得或(舍去),∴a的值是3或.12.答案:...13.答案:.解:由题意设0<x<y∵xy=9,∴∴x+y﹣2==12﹣6=6x+y+2==12+6=18∴=,=∴=.14.(1)解 由2x-1≠0⇒x≠0,所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)证明
6、f(x)=(+)x3可化为f(x)=·x3,则f(-x)=(-x)3=x3=f(x),所以f(-x)=f(x).f(x)为偶函数.(3)证明 当x>0时,2x>1,x3>0,所以(+)x3>0.因为f(-x)=f(x),所以当x<0时,f(x)=f(-x)>0.综上所述,f(x)>0.15.解 (1)函数定义域为R,关于原点对称.又因为f(-x)=(a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数,从而y=ax-a-x为增函数,所以f(x)为增函数.当07、1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数,所以f(x)为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1),..∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=·=-1.16.解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,即=0,解得b=1从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.经检验a=2适合题意,∴所求a、b的值分别为2、1.(2)由8、(1)知f(x)==-+.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)因为f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.从而判别
7、1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数,所以f(x)为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1),..∴f(x)min=f(-1)=(a-1-a)=·=-1.16.解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,即=0,解得b=1从而有f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.经检验a=2适合题意,∴所求a、b的值分别为2、1.(2)由
8、(1)知f(x)==-+.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数又因f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)因为f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.从而判别
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