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1、§1二重积分概念二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质返回一、平面图形的面积我们首先定义平面图形的面积.所谓一个平面图形P是有界的,是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集,即存在一矩形R,使得设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形(图21-1),这时直线网T的网眼(小闭矩形)可分为三类:(i)上的点都是P的内点;(ii)上的点都是P的外点,即(iii)上含有P的边界点.将所
2、有属于第(i)类小矩形(图21-1中紫色部分)的面积加起来,记这个和数为里表示包含P的那个矩形R的面积);将所有第(i)类与第(ii)类小矩形的面积加起来(图21-1中着色部分),记这个和数为则有则有(这由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,显然有通常称为P的内面积,为P的外面积.定义1若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,并把共同值作为P的面积.定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是:数集有上确界,有下确界.记对任给的总存在直线网T,使得证必要性设有界图形P的面积为.由定义1,有由及的定义知道,分别存在直线网与使得记T为由与这两个直线网合并所成
3、的直线网,可证得于是由(3)可得从而对直线网T有充分性设对任给的存在某直线网T,使得但所以由的任意性,得因而平面图形P可求面积.推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积即对任给的存在直线网T,使得或对任给的平面图形P能被有限个面积总和小于的小矩形所覆盖.定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.证由定理21.1,P可求面积的充要条件是:对任给的存在直线网T,使得由于所以也有由上述推论,P的边界K的面积为零.定理21.3若曲线K为定义在上的连续函数的图象,则曲线K的面积为零.证由于在闭区间上连续,所以它在上一致连续.因而,当，时,可
4、使在每个小区间上的振幅都成高的小矩形所覆盖.由于这n个小矩形面积的总和立即若把曲线K按分成n个小段,则每一小段都能被以为宽,为因此由定理21.1的推论即得曲线K的面积为零.推论1参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.证由光滑曲线的定义，均存在且不同时为零.由隐函数存在性定理,(或因此(或)在上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间使得在每一段上，(或)存在上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零.推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.分成n段:(或,于是在上反函数(或所以在有连续的注平面中并非所有的点集都是可求面积的.例如易知因
5、此是不可求面积的.二、二重积分的定义及其存在性二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积.设为定义在可求面积的有界闭域D上的非负连续函数.求以曲面为顶,D为底的柱体(图21-2)的体积V.图21-2采用类似于求曲边梯形面积的方法.(1)分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T把区域D分成n个小区域(称T为区域D的一个分割).以表示小区域的面积.这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n个以为底的小曲顶柱体(2)近似求和:由于在D上连续,故当每个相差无几,因而可在上任取一点用以的直径都很小时,在上各点的函数值is为高,为底的小平顶柱体的体积作为的体积的近似值(如图21-3),即把这些小
6、平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V的近似值(3)取极限:当直线网T的网眼越来越细密,即分割T的细度(为的直径)趋于零时,就有这类问题在物理学与工程技术中也常遇到,如求非均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.这些都是所要讨论的二重积分的实际物理背景.上面叙述的问题都可归为以下数学问题.可求面积的小区域以表示小区域的面积,这些小区域构成D的为分割T的细度.在每个上任取一点作一个分割T,以表示小区域的直径,称设D为xy平面上可求面积的有界闭域,为定义在D上的函数.用任意的曲线网把D分成n个称它为函数在D上属于分割T的一个积分和.定义2设是定义在可求面积的有界闭域D上的
7、函数.J是一个确定的实数,若对任给的正数总存在某个正数使对于D的任何分割T,当它的细度时,属于T的所有积分和都有和式则称在D上可积,数J称为函数在D上二重积分,记作其中称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.当时,二重积分在几何上就表示以为曲顶,D为底的曲顶柱体的体积.当时,二重积分的值就等于积分区域D的面积.注1由二重积分定义知道,若在区域D上可积,则与定积分情形一样,对任何分割T,只要当时,(4)式都成立.因此为方便计算起见,常选取一些特殊的分割方法,如选用平行于坐标轴的直线网来分割D,则每一小网眼区域的的面积此时通常把记作注
