微分及其应用.pdf

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1、作业和答疑一、作业P:3(3,6,7,8),4，5(1,3,6),6,9,10110二、数学实验第1,2次：第10,11周四3,4节（车辆公管）上机第1,2次：第10,11周五3,4节(工设,机硕,机管硕)上机地点：理科楼238三、答疑时间：每周三：10：30~4：00地点：理课楼316第四节微分及其应用•一、微分的定义与几何意义•二、微分运算法则•三、微分在近似计算中的应用•四、小结一微分的定义与几何意义1、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.2x0x(x)设边长由x变到xx,002x0

2、xx正方形面积Ax,022A()xxx2x00Ax00xx022xx(x).0(1)(2)(1):x的线性函数,且为A的主要部分;(2):x的高阶无穷小,当x很小时可忽略.3再例如,设函数yx在点x处的改变量0为x时,求函数的改变量y.33y()xxx002233xx3x(x)(x).00(1)(2)当x很小时,(2)是x的高阶无穷小o(x),2y3.xx既容易计算又是较好的近似值0问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所

3、有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2、微分的定义定义设函数yf(x)在某区间内有定义,x及xx在这区间内,如果00yf(xx)f(x)Axo(x)00成立(其中A是与x无关的常数),则称函数yf(x)在点x可微,并且称Ax为函数0yf(x)在点x相应于自变量增量x的微分,0记作dy或df(x),即dyAx.xx00xx0微分dy叫做函数增量y的线性主部.(微分的实质)由定义知:(1)dy是自变量的改变量x的线性函数;(2)ydyo(x)是比x高阶无

4、穷小;(3)当A0时,dy与y是等价无穷小;yo(x)11(x0).dyAx(4)A是与x无关的常数,但与f(x)和x有关;0(5)当x很小时,ydy(线性主部).如果函数y=f(x)在区间I上处处可微，则称f(x)在区间I上可微。函数yf(x)在区间I上任意点x的微分,称为函数的微分,记作dy或df(x),即dyA(x)x.两个基本问题：（1）函数可微的条件是什么？（2）若函数可微，则定义中的A(x)=?3、可微的条件定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函0数f(x)在点

5、x处可导,且Af(x).00证(1)必要性f(x)在点x0可微,yo()xyAxox(),A,xxyo(x)则limAlimA.x0xx0x即函数f(x)在点x可导,且Af(x).00(2)充分性函数f(x)在点x0可导,yylimfx(0),即fx(0),x0xx从而yf(x0)x(x),0(x0),fx()xox(),0注函数f(x)在点x0可微,且f(x0)A.可导可微.

6、Af(x).0函数yf(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记作dy或df(x),即dyf(x)x.3例1求函数yx当x2,x0.02时的微分.32解Qdy()xx3.xx2dy3xx0.24.xx22xx0.020.02例2：考虑函数y=x的微分：dydx(x)'xx即dxx.通常把自变量x的增量x称为自变量的微分.dydyf(x)xf(x)dxf(x).dx即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.导数也叫"微商

7、".4、微分的几何意义y几何意义:(如图)TN当y是曲线的纵o(x)Py坐标增量时,dyMdyyf(x)x就是切线纵坐标）对应的增量.ox0x0xx当x很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.二、微分的求法dyf(x)dx求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式1dC()0dx()xdxd(sin)xcosxdxd(cos)xsinxdx22d(tan)xsecxdxd(cot)xcscxdxd(sec)xsectanxxdx

8、d(csc)xcsccotxxdxxxxxda()alnadxde()edx11d(logx)dxd(ln)xdxaxlnax11d(arcsin)xdxd(arccos)xdx2211xx11d(arctan)xdxdarc(cot)xdx2211xx2.函数和、差、积、商的微分法则duv()dudvdCu()Cduuvduudv