组合数公式的由来及演变.pdf

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1、万方数据第24卷第5期V0124No5昭通师范高等专科学校学报journalofZhaotongTeacher％COllege2002年10月On2002组合数公式的由来及演变饶克勇(昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通657000)[摘要]系统地指示出组台数公式的由来及演变．[关键词]组合数；自然撤；二项武定理[中图分类号]0157[文献标识码]A[文章编号]]008—9322(2002)05·0012-04TheOriginandEvolutionofCombinationNumber'sFormulaRAOKe—yong(DepartmentofMathematics，Zha

2、otongTeacherNCollegeAbstract：Expoundinasystematicwaytheoriginandevolutionofcombinationnumber'sformula．Keywords：combinationnumber；naturalnumberjbinomialtheorem排列、组合、二项式定理对人们学习、研究和解决实际问题有着重要作用．本文对组合数公式的由来与演变作一揭示．1组合数的定义殛基本性质1．1组夸数的定义组合数c?是m和n的二元函数．设集合一的基card(4)=”，集合5移={BfBEA^card(B)=训，则C；7=card(

3、毋)．由定义知：c?的定义域为N×N．当m≤”时，有公式C7=而等岛两“)而当m>一时，C7—0(此时留一g)．公式(1)称为组合数基本公式．c?实际上是自然数集上的二元运算，这种运算既不满足交换律也不满足结合律．1．2组合数的性质(1)可通过约分化为C7=塑_≮争里业．(2)当m=0时，(2)式不能给出c?的定义，需要由(1)式补充C：=1；但当m>n时，由(2)式有C2=0．公式(2)为组合数概念的推广创造了条件．收稿日期：2002—06—20作者简介：饶克勇(1939一)．男，云南昭通人．教授·12·万方数据饶克舅组合数公式的由来及演变第5期组合数还可由递推公式进行计算C7+

4、=三书C2；=群篙c?n+1一mⅥc搿=措c2由c；=1，通过以上递推公式，即可求出所有组合数．组合数具有如下常用性质：4·c?一Cf⋯iB．(=盅1；C．C2+l—C2+C71；D．皑一c2+’+2(习+c2E．mC2=nCTz，(m一1，2，⋯)．2用二项式定理推演组合数公式二项式定理沁+y)”一∑C2,r⋯y“，("∈N)可用来推演组合数公式．以下恒设r=1．在二项式定理中，令Y一1，有令Y=一1，有∑四=2”；∑(一1)4C7—0m‘0由(3)式和(4)式分别相加、相减再除以2，可得∑c，一2—1∑c”一2”在二项式定理中，令y=i，得(】十i)。=∑(一1)。q”+i∑(

5、一1)’“c?“+m'0m=0因为(1+i)“=／F(cos等+isin竽)，故(7)式的平方加(8)式的平方，得蚤(-1)”曙=汀c。s警；∑(--D'Cp“=,／Ysin竿∑(一1)“Cp)2+((5)式加(7)式，再除以2，得(6)式加(8)式，再除以2，得∑(一1)“c⋯)2=2“Ec'm=2一+、／产cos竽；∑c∥=2一+／酽sin竽在二项式定理中，令Y为方程Y3—1=0的根啪=1+汀i一1一／了—厂’yz。——r～薹c?卯2(1-1-y，)”一c。s等+sin警(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)Y，一1，得·13·万方数据第24卷昭通师范高等专

6、科学控学报2002年(总第84期)∑研，；一(1+y扩—c。s等一sin等，∑c：一2”．三式相加，得∑c：(y?+坩+1)一2c。s等+2”．由于当3帐时，1+计+业=0；当3I^时，1+Y：-4-Yl一3．从而3∑q”=2cos譬+2“．即蚤c卜号(cos等坩1)．在二项式定理中，取不同的”值，有∑CTy“=(1+y)”，(12)^∑cr，一(1+J)‘，w20两式相乘，得H●^+●(∑c?y“)(∑c?，J；(1+y)”‘一∑曙-旷．m一0Ⅷm=o比较两边含，的系数，得∑q四一，一c孙(13)J=0特别地，当k=m一“时，由组合数性质^，有∑(c∥=c轨(14)在二项式定理中

7、．令”=^，则crg(a+y)‘展开式中旷的系数．由此可知；∑c?是∑(1+y)‘的展开式中y“的系数．由于宝(1+y)t=盟—二掣，其展开式中ym项的系数为c搿，从而有∑四一c搿．(15)在二项式定理中，公式两边对Y求导，得棚+y)“=∑mc?y⋯，(16)令Y=1，得∑mc：一H·2⋯，(17)(16)式两边同乘以Y，再对Y求导，得令Y=1，得1)y(1十y)⋯=∑m。曰旷一∑m2曰一n·2“+n(一一1)·2—2同法，可计算出∑m‘c：，h一3，4，5，⋯m51