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1、第三节相似矩阵分布图示★相似矩阵与相似变换的概念★例1★相似矩阵的性质★例2★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对角矩阵相似的条件★例3★例4★矩阵可对角化的条件★矩阵对角化的步骤★例5★例6★利用矩阵对角化计算矩阵多项式★矩阵对角化在微分方程组中的应用★例7★约当形矩阵的概念★例8★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题4-3内容要点一、相似矩阵的概念定义1设都是阶矩阵,若存在可逆矩阵,使,则称是的相似矩阵,并称矩阵与相似.记为.对进行运算称为对进行相似变换,称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1)反身性:对任意阶矩阵
2、,有相似;(2)对称性:若相似,则与相似;(3)传递性:若与相似,则与相似,则与相似.两个常用运算表达式：(1);(2),其中为任意实数.二、相似矩阵的性质定理1若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1)相似矩阵的秩相等;(2)相似矩阵的行列式相等;(3)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对角矩阵相似的条件定理2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.注:定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.推论1若n阶矩阵A
3、有n个相异的特征值,则A与对角矩阵相似.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使为对角阵,则称方阵A可对角化.定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.即设是矩阵A的重特征值,则A与相似。四、矩阵对角化的步骤若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现:(1)求出的全部特征值;(2)对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组的基础解系由个向量构成,即为对应的线性无关的特征向量；(3)上面求出的特征向量恰好为矩阵的个线性无关的特征向量;(4)令,则五、利用矩阵对角化计算矩阵多项式定理4设是矩阵A的
4、特征多项式,则.六、矩阵对角化在微分方程组中的应用在许多实际应用中,我们常需研究随时间连续地变化的变量,并且这些变量之间的关系常以微分方程组的形式关联着,事实上,微分方程组是在连续情形下描述动态系统行为的一种常用数学模型。本节我们仅通过实例来了解矩阵对角化在求解微分方程组中的应用。七、约当形矩阵的概念定义2在n阶矩阵A中,形如的矩阵称为约当块.若一个分块矩阵的所有子块都是约当块,即中都是约当块,则称J为约当形矩阵,或约当标准形.注:对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形矩阵.定理5对任意一个n阶矩阵A,都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与
5、n阶约当矩阵J相似.例题选讲例1(E01)设有矩阵试验证存在可逆矩阵,使得A与B相似.证易见可逆，且由故与相似.例2容易算出A与B的特征多项式均为但可以证明A与B不相似.事实上,A是一个单位阵,对任意的非异阵P,有因此若B与A相似,B也必须是单位阵,而现在B不是单位阵.所以A与B不相似例3(E02)试对矩阵验证前述定理2的结论.解由本章第二节例1知，题设矩阵有两个互不相同得特征值其对应特征向量分别为：如果取则有即与相似.如果取则亦有即与相似.例4试对矩阵验证定理2的结论.解由上节课堂练习2知，题设矩阵有两个互不相同的特征值其对应特征向量分别为：容易
6、验证线性无关.若取，则注:本例子说明了A的特征值不全互异时,A也可能化为对角矩阵.例5(E03)判断矩阵能否化为对角矩阵.解将代入得方程组基础解系同理，对由基础解系由于所以线性无关.即有3个线性无关得特征向量，因而可对角化.例6(E04)设问为何值时,矩阵能对角化?解对于单根可求得线性无关的特征向量恰有1个，而对应重根欲使矩阵能对角化，应有2个线性无关的特征向量，即方程组有2个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩要得即因此，当时，矩阵能对角化.例7(E05)设函数满足下列微分方程组:其中,试求该方程组的解.解令则方程组可化为即（*）其中.令，为可逆阵，，
7、代入（*）式得，即，可得.如果能使为对角形，则方程组的解会很容易求出.下面首先解决的对角化问题.先求出的特征值,,对一个特征向量分别为令,则.即若令,则得到,即解此微分方程得,即,为任意常数从而即为方程组的解（其中为任意常数）.例8下列矩阵是约当型矩阵(虚线是为了更清楚地表示分块情况而加上去的):(1);(2);(3);(4);(5).(1),(2),(3)是由两个约当块组成的约当形矩阵，其中(1)与(2)都有一个1阶的约当块，(3)由两个2阶的约当块组成.(4)是一个对角阵，它可看成是由4个1阶约当块组成的约当形矩阵.一般来说，一个阶对角阵可看成
8、为由个1阶约当块组成的约当形矩阵.也就是说对角阵是约当形矩阵的特殊情况.(5)是由3个约当块组成的约当形矩阵，其中左上角一
