Koch 曲线的周长与面积.doc

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1、Koch曲线的周长与面积设原三角形P1的边长为a1，边数为b1，周长为L1，面积为S1。依次所得的“雪花曲线”（Pn）的边长为an，边数为bn，周长为Ln，面积为Sn。观察n＝1、2、3时，an、bn、Ln、Sn的表达式及其相互关系，构造次数Pn边长为a边数为b周长为L面积为Sn=1a1b1L1=3a1S1=a12n=2b2=4b1L2=L1S2=a12+3×a12n=3B3=4b2L3=()2L2S3=a12+3×a12+2×a12……………下面分步研究:①an与an-1的边长之间的关系:由,,……,得,。②Pn与Pn-1的边数之间的关系：因为每操作一次，原来

2、一条边变为4条边，所以，从而。　③Pn与Pn-1的周长之间的关系：由,,……,得，。　④Pn与Pn-1的面积之间的关系：∵P是在P1的每条边上再生成一个小三角形，∴。同理，对象Pn是在Pn-1的每条边上再生成一个小正三角形，于是对象Pn的面积等于Pn-1的面积加上bn个新增小正三角形的面积，即，把和的表达式代入上式，得，即,,……,,用叠加相消法，得。Pn和Pn-1的之间的递推关系：P的面积等于Pn-1的面积加上bn-1个新增小正三角形的面积。　分析数列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}的性质　①数列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}都是等比数列；②数列

3、{bn}、{Ln}、{Sn}都是递增数列；数列{an}是递减数列；③由于{bn}、{Ln}的公比大于1，{an}的公比小于1，随着n趋近于＋∞，{bn}、{Ln}的值趋于＋∞，{an}的值趋于0；{Sn}的公比小于1，随着n趋于＋∞，{Sn}的值趋于（且,即雪花曲线面积大于原正三角形面积，而小于P2的六个顶点连成的正六边形面积。）。面的分析结果，得到雪花曲线的特性：①雪花曲线是一条边数有无穷多，到处是尖端，不光滑的、连续的封闭的折线；②雪花曲线的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的；