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时间:2018-10-22
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1、利用MATLAB生成Koch曲线 摘要分析Koch曲线的构造过程,然后编写生成Koch曲线生成元的M函数,通过该M函数的递归调用来生成Koch曲线。通过Koch曲线,便于更直观地理解分形,获得分形带来的艺术美感。 【关键词】分形Koch曲线递归 自然界存在许多复杂事物和现象,如蜿蜒曲折的海岸线、天空中奇形怪状的云朵、错综生长的灌木、太空中星罗棋布的星球等,还有许多社会现象,如人口的分布、物价的波动等,它们呈现异常复杂而毫无规则的形态,但它们具有自相似性。人们把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal),在此基础上,形成了研究分形性质
2、及其应用的科学,称为分形理论。Koch曲线由瑞典数学家科赫(Koch)于1904年提出,是典型的分形曲线。 MATLAB(MATrixLABoratory)是颇具特色和影响的科学计算软件,它以矩阵运算为基础,将高性能的数值计算和符号计算功能、强大的绘图功能、动态系统仿真功能以及为数众多的应用工具箱集成在一起,在科学研究以及工程设计领域有着十分广泛的应用。本文以Koch曲线为例,利用MATLAB作为实现工具,说明分形曲线的生成方法。 1Koch曲线的构造过程 Koch曲线的构造过程是,取一条直线段L0,将其三等分,保留两端的线段,将中间的一段用以该线段
3、为边的等边三角形的另外两边代替,得到曲线L1,如图1所示。再对L1中的4条线段都按上述方式修改,得到曲线L2,如此继续下去进行n次修改得到曲线Ln,当n→∞时得到一条连续曲线L,这条曲线L就称为Koch曲线。 Koch曲线将每条直线用一条折线替代,这条折线通常称为该Koch曲线的生成元。曲线的特征完全由生成元决定。给定不同的生成元,就可以生成各种不同的分形曲线。分形曲线的构造过程是通过反复用一个生成元来取代每一直线段,因而图形的每一部分都和它本身的形状相同,这就是自相似性,这是分形最为本质的特点。 对于给定的初始直线L0,需要在线段P1P5中插入三个点
4、,其中P2,P4为线段P1P5的三等分点,P3可以由P4以P2为轴心逆时针旋转60°得到。 先考虑坐标数据的处理方法,即根据P1,P5两点的初始坐标,按照Koch曲线的构成原理计算出P2,P3,P4各点坐标。显然: P2=P1+(P5-P1)/3 P4=P1+2(P5-P1)/3 为了得到P3点坐标,引入旋转矩阵。点A对应于长度为r的向量,A逆时针旋转△θrad得到B,如图2所示。 由此,定义旋转矩阵: 则 B=ART P3点坐标可以由以下旋转矩阵来实现。 R用于对坐标进行60°的旋转,则P3点坐标可以由如下的公式得到: 2Koch曲线
5、的实现 分形曲线的构造过程也决定了生成该曲线可以用递归方法,即函数自己调用自己的过程。定义对直线L0进行替换的函数koch(),然后利用函数的递归调用,分别对P1P2、P2P3、P3P4、P4P5线段调用koch函数,通过递归来实现替换。程序不能像数学家的设想那样运算至无穷,所以要根据要显示的最小长度作为递归的终止条件。 首先编写M函数koch.m如下: functiony=koch(P1,P5,Level) ifLevel<1 plot([P1(1),P5(1)],[P1(2),P5(2)],'k');%绘制曲线 holdon; else
6、 R=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];%旋转矩阵 P2=P1+(P5-P1)/3;%计算P2,P3,P4各点坐标 P4=P1+2*(P5-P1)/3; P3=P1+(P5-P1)/3+(P5-P1)*R'/3; koch(P1,P2,Level-1);%函数递归调用 koch(P2,P3,Level-1); koch(P3,P4,Level-1); koch(P4,P5,Level-1); end M函?当嘈赐瓿珊螅?编写以下程序。 koch([0,0],[1,0],5); axi
7、sequal axis([0,1,-0.05,0.35]) 程序取Level=5,P1=[0,0],P5=[1,0],运行结果如图3所示。改变Level的值可以获得不同细腻程度的Koch曲线。 在程序中三次调用koch.m函数,实现三角形三条边各自的Koch曲线,形成Koch雪花曲线效果。编写以下程序,其运行结果如图4所示。 koch([1,0],[0,0],5); koch([0,0],[cos(pi/3),sin(pi/3)],5); koch([cos(pi/3),sin(pi/3)],[1,0],5); axisequal 3Koc
8、h曲线的变形 参照本文的方法,我们很容易自己构造其他生成元的Ko
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