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1、《数学实验》报告3分形实例电气二班陆展辉201430222325(51)问题描述1.对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形阁称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成阁3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkowski香肠。编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。图3-21Minkowski香肠一次迭代问题分析与实验过程实验过程.•1.仿照Koch曲线代码对三角形的每条边
2、进行Koch曲线化,函数的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积(1)代码如下：functionxuehua(k)%k为迭代次数forj=0:2%依次对3条边进行Koch曲线运算ifj==O;p=[0,0;10,0];elseifj==l;p=[5,-5*sqrt(3);O,O];elsej==2;p=[10,0;5,-5*$qrt(3)];endn=l；%存放线段的数量，初始值为1A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];%用于计算新的结点fors=l:kj二0;%j为行数fori=
3、l:nql=p(i，:)；％S前线段的起点坐标q2=p(i+l，:)；％A前线段的终点坐标d=(q2-ql)/3;j=j+l;r(j,:)=ql;%原起点存入rj=j+l;r(j，:)=ql+d;%新1点存入rj=j+l;r(j,:)=ql+d+d*A,;%新2点存入rj=j+l;r(j，:)=ql+2*d;%新3点存入rendn=4*n;%全部线段迭代一次后，线段数量乘4clearp%清空p，注意：最后一个终点q2不在r中p=lr;q2J;条边的全部结点clearrendplot(p(:,l),p(:,2))%连接各个结点holdon;axisequalend不同k
4、对应不同的图像如下:k=l么2k=l时S=4+12k=2时S=4+12+27(2)Koch雪花面积推导如下所示:k=0时S=4V3,73,7324^3,厂*厂-广厂-"k=3时S=4+12+27+243nk=n时S=4+12+每一次迭加，所产生的新三角形的边长变为上一次的3,数量为上一次的4倍.73973——厂細——S=4+41、2(3*(i)+……+3*4-)*(士)2)__n1V
5、r2£[3*4(/-°*(-)2]=4+4“=i3曲线总面积无穷大。(3)综上所述可得Koch雪花的分形维数为:根据迭代的规律得到：相似形个数：m=6边长放大倍数：c=3,d=Inm+I
6、nc.=In6+In3=i6312、绘制Minkowski香肠(i)编辑实现题目迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkowski香肠的阁形。具体代码如下:functionMinkowski(k)%显示迭代k次后的Minkowski曲线图p=[0,0;10,0];%存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的坐n=l；A=[0,1;-1，0];fors=l:kj=0;fori=l:n;%存放线段的数量，初始值为1%用于计算新的结点%实现迭代过程，计算所有的结点的坐标ql=P(i，：)；%目前线段的起点坐标q2=p(i+1，：)；%目前线段的终点坐标d=(q
7、2-ql)/4；J-j+1(j，：)=ql;%原起点存入rj=j+l;r(j，：)=ql+d;%新1点存入rj=j+l;r(j,:)=ql+d+d*A;%新2点存入rj=j+l；r(j,:)=ql+2*d+d*A;%新3点存入rj=j+l;r(j,：)=ql+2*d+d*A，；%新4点存入rj=j+l；r(j,:)=ql+3*d+d*A’；%新5点存入rj=j+l;r(j，：)=ql+3*d;%新6点存入rend%原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入n=n*7；%全部线段迭代一次后，线段数量乘7clearp%清空p，注意：最后一个终点q2不在r中P=[r;q
8、2];%重新装载本次迭代后的全部结点endplot（p（:，1）,paxisequal(:，2))%显示各结点的连线图%各坐标轴同比列将这个文件保存，文件名记为Minkowski,m.(2)绘制Minkowski香肠的图形①代码：frat(3)运行结果如下图所示：②代码:frat(5)运行结果如下图所示:⑶计算Minkowski香肠的维数根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4,故维数d=l.4037.因此Minkowski香肠的维数介于1与2之间。具体计算如下:d=lnin/lnc=ln7/ln4=1.4037u=[O，lJ;fork
