直线与平面的垂直关系,湘教版.ppt

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1、直线、平面垂直的判定与性质数学与统计学院2010级徐秀萍一.直线与平面垂直的判定与性质31、线面垂直定义：一般地，如果一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l与平面α垂直，记作：l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，l与的交点P叫做垂足.lP画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。4线面垂直直观图的画法：52.线面垂直的判断定理:如果直线l与平面上的两条相交直线a、b都垂直，那么直线l与平面垂直。6lOabgP1PlABC7例1、下列命题是否正确？为什么？(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直

2、线，那么这条直线与这个平面垂直。(2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的无数条直线。×√8例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。在上作两条相交直线mnP3.线面垂直的性质（公理）(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。直线和平面垂直的性质1.一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的任意直线．2.垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一直线的两平面平行．3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。10例3、在正方体ABCD-A1

3、B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确？①AC⊥面CDD1C1②AA1⊥面A1B1C1D1③AC⊥面BDD1B1④EF⊥面BDD1B1⑤AC⊥BD1⑥BD⊥A1F×√√√√√11例4、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。求证：PO⊥平面ABCDBDCPA[例5]如右图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂

4、直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.即时训练：如右图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥EF.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.而EF⊂平面A

5、EF，∴PC⊥EF.15空间图形中的有关距离：1.点与点的距离、点与线的距离、线与线的距离。2.点M和平面的距离设M是平面外一点，过点M作平面α的垂线，垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点M和平面的距离。162、直线l和平面的距离设直线l平行于平面，在直线l上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做直线l和平面的距离。173、平面和平面的距离设平面平行平面，在平面上任取一点M，我们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．注意：在需要平面的垂线时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线

6、面垂直，然后进一步转化为线线垂直.要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本章内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关键．作业布置三维设计P30：心之得，梦之旅