直线与平面的位置关系（直线与平面垂直1）.doc

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1、直线与平面的位置关系——直线与平面垂直（1）教学目标：掌握直线与平面垂直的定义、性质；掌握直线与平面垂直的判断定理内容；能初步应用定义、判定定理证题。教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理的应用。教学过程：一、问题情境：观察圆锥SO,它给我们以轴SO垂直底面的形象。轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？SBAOCAaaB二、建构数学（1）线面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a垂直于平面α，并且记作a⊥α．直线a叫平面α的垂线，平面α叫直线a的垂面，垂线和平面的交点叫垂足．（2）线面垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线

2、垂直；（3）判定方法：例1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。abam已知：a∥b，a⊥α，求证：b⊥α．（用线面垂直的定义）本题结论可在填空题中用！判定定理：①内容：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．这里必须强调的是：相交两字．②符号表示：若a⊥m，a⊥n，mÌα，nÌα，m∩n=A，则a⊥α．③友情提示：用线面垂直判断定理证明线面垂直必须验证定理中五个条件！三、数学应用ACαPB例2如图，定点A和B都在平面α内，定点Pα，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是．（填序号

3、）①一条线段，但要去掉两个点；②一个圆，但要去掉两个点；③一个圆；④半圆，但要去掉两个点．-3-ABCDA1B1C1D1例3如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）（凡是能推出AC⊥BD的条件均可）BACDA1B1C1D1EO例4在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1．根据线面垂直的判定定理，要证明OE⊥平面ACD1，只须在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直．解:证法一如图，连B1D、A1D、BD．在

4、△B1BD中，∵E、O分别是B1B和DB的中点，∴EO∥B1D．∵B1A1⊥面AA1D1D，BACDA1B1C1D1EOAD1Ì面AA1D1D，∴B1A1⊥AD1．又∵AD1⊥A1D，∴AD1⊥平面A1DB1．∴AD1⊥DB1．同理可证，B1D⊥D1C．又∵AD1∩CD1=D1，AD1、D1CÌ面ACD1，∴B1D⊥平面ACD1．∵B1D∥EO，∴EO⊥平面ACD1．BACDA1B1C1D1EO证法二如图，连结AE、CE、D1O、D1B1、D1E，设正方体DB1的棱长为a，易证AE=CE．又∵AO=OC，∴OE⊥AC．在正方体DB1中易求出：D1O==，OE==，D1E==，∴D1O2＋OE

5、2=D1E2，∴D1O⊥OE．∵D1O∩AC＝O，D1O、ACÌ平面ACD1．∴OE⊥平面ACD1．四、课堂练习：1．已知SO⊥平面a，垂足为O，△ABCÌa，点O是△ABC的外心（外心是指三角形的外接圆的圆心，它是三边垂直平分线的交点），那么下列结论成立的是．①SA=SB；②SA⊥SB；③∠SAB=∠SAC④；∠ASB=∠ASC2．△ABC所在的平面外一点P，过P作PO⊥平面a，垂足为O，连接PA、PB、PC．①若PA=PB=PC，则O为△ABC的心；②若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则O是△ABC的心；③若P点到三边AB、BC、CA的距离相等，且O点在△ABC的内部，则O是△ABC

6、的心；-3-④若PA=PB=PC，∠ACB=90º，则O是AB边的点。SG1G2G3EFD第3题图3．在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S－EFG中必有．①SG⊥△EFG所在平面；②SD⊥△EFG所在平面；③GF⊥△SEF所在平面；④GD⊥△SEF所在平面．4．如图，过点S引三条两两互相垂直的直线，一个平面与这OSABCα三条直线分别相交于A、B、C．求证：（1）△ABC是锐角三角形；（2）设△ABC的垂心为O,求证：SO⊥平面ABC．5

7、．如图，斜边为AB的Rt△ABC，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB交于E，AF⊥PC交于F，PABCEF第5题图求证：PB⊥平面AEF．五、回顾反思六、作业。-3-