教学中用定积分求曲线弧长的改进.pdf

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1、2011年11月洛阳师范学院学报NOV．．2011第30卷第l1期JournalofLuoyangNormalUniversityVo1．30No．1l教学中用定积分求曲线弧长的改进王嘉谋，何莉敏(内蒙古科技大学数理与生物工程学院，内蒙古包头014010)摘要：本文利用光滑曲线弧长定义直接推导出求曲线弧长公式，改变了以往以切线近似代替弧长导出求曲线弧长公式的思想．关键词：微元法；弧长；折线；切线中图分类号：G64文献标识码：A文章编号：1009—4970(2011)l1—0011—02在高等数学教学中，应用定积分计算平面曲线(割线)的长度之和s(：∑JJ)

2、的极限来的弧长时，普通工科的高等数学教材的处理方案是微元法，即在区间【0．bl上任取一小区间定义的．因此，用切线段长度之和来逼近弧长的做法显然与弧长定义不一致．这样就使读者产生这样[．+dx]，将如图1所示曲线Y=)在的疑虑：由内接折线给出的弧长的定义与上面导出【．+d】上的一段长度为△s的弧用该曲线在点的算法计算出的“弧长”是否一致?这也是一个很难(厂())处的切线的相应的小段长度来近似代替回答的问题．(即IMM，IIMN1)，而切线小段MN的长度为鉴于上述原因，笔者认为在这节的教学中，不丽=~／(dx)+()。=1+(厂())。dx，从用元素法，而用弧

3、长定义直接来求平面曲线的弧而弧长的微元为长，以推导出弧长的公式更好些．ds：,／1+(厂())dx(1)，6，—————————————————————：_1给出平面曲线的长度的概念由(1)推得s=I,／1+(厂())dxIa．定义⋯：设A，日是平面曲线弧的两个端点，在这样处理问题的优点在于简单且容易理解，但弧AB上依次任取分点A=Mo，M。，M2，⋯，，，存在严重的不足，其主要表现在以下两点．⋯Mn=B，并依次连接相邻的分点得一折线1)我们知道，只有选取的线性函数，(图3)．,／1+(．厂())dx满足条件令S=∑Il，AS一,／1+(厂())dx=0(

4、)(2)i；1则曲线弧AB的弧长定义s为时，线性表达式,／1+(厂())才有“资格”来近似代替AS．容易看出(2)式的成立当且仅当s：^i—．0∑I。I(4)limIMNl：1(3)其中A=max{IMi～。1)．。这就又回到了在讨论弧微分时很难说清的(3)式上2用定义计算平面曲线的弧长去．普通高等数学教材都是让读者无条件地承认设平面曲线方程为Y=)，函数Y=)在(3)式成立，然而(3)式并不是显而易见的事实．2)在求弧长之前，都给出了平面曲线弧长的【口．6】上具有连续导数，A(0n))，(b6))．求曲线弧的长度s．严格数学定义．而弧长的定义是用曲线的内

5、接折线收稿日期：2011—06—20基金项目：内蒙古科技大学理科基地项目(JY2010103)；内蒙古科技大学教学(教改)重点项目(JY2009017)作者简介：王嘉谋(1957一)，男，陕西长安人，副教授．·12·洛阳师范学院学报2011年第11期(1)在[a，6】内任意插入一1个分点：0=。<。故ds：41+(厂())dx，此式还可写为ds：

6、∈，，A((O1)，砂(OL))，B(v(3)，())．其,asl¨}．由于=(t)dt，=(t)dt，则由(6)式(2)求△Js的近似值得ASlI：ds=丽：t=4(x—～1)+厂()(—一1)(7)=,／1+()·△，∈(，一1)．于是(3)作和式s=fdt(8)s=∑AS一∑酉·△∈()．这样以来，前述疑虑统统消除，同时还给出了弧微分公式的严格数学证明，各这样做不失为一个(4)取极限好方法．由于厂()连续，及弧长的定义有s=limef4=limXJ—i而2·△参考文献[1]同济大学数学系．高等数学(上册)[M]．北京：高等教=l^／／1+厂()dx．

7、育出版社，2006．[2]南京邮电大学高等数学教研室．高等数学(上册)[M]．即s=J~／1+厂()dx(5)北京：清华大学出版社，2006．在讨论弧微分时，我们用直观的方法(即在承[3]张汉林．高等数学(上册)[M]．北京：机械工业出版社，认(3)式成立的情况下)推出了ds=2006．[4]曹吉利，王树勋．高等数学(上册)[M]．西安：西北工业、，／1+(厂())。dx，现在可用(5)式严格证明这一大学出版社，20(0．点．事实上，当∈【a．6]上，s=s()[责任编辑胡廷锋]=则塞=．DevelopmentofSolvingCurveArcLength

8、byDefiniteIntegralinTeachingWANGJ