实验一 数据拟合.pdf

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1、实验一数据拟合一、实验目的和要求了解最小二乘法；了解数据拟合；了解Matlab做拟合的基本方式；了解拟合在数值计算中的应用。二、背景知识1.最小二乘法与数据拟合数据拟合问题的提法是，已知一组数据x,y,i1,2,3,,m，寻ii求一个拟合函数yfx，使将??代入得到的f(??)在某种准则下与??最为接近（i=1,⋯,m）。在几何上，可以看作是找一条曲线yfx，与平面上已知的m个点(??,??)在某种准则下最为接近。常用的拟合函数有多项式函数、指数函数等。最常用的准则是使f(??)与??之差的平方和最小，称为最小

2、二乘准则。根据最小二乘准则计算得到的待定系数的解称为最小二乘解，相应的方法称为最小二乘法。2.多项式拟合拟合函数为多项式函数m2n2Fa,a,ayaaxaxax01ni01i2inii1时，极小化上述函数得到的a,a,a为最小二乘解。这个问题非常特殊，可01n以推导出解析解的表达式。利用多元函数极值的必要条件，得到线性方程组m2na0a1xia2xianxiyi0i1m2nxia0a1xia2xianxiyi0i1mn2n

3、xia0a1xia2xianxiyi0i1即1mmmnmxixiyii1i1a0i1mmmmxx2xn1aiii1xiyi，i1i1i1i1mmmamnn12nnxnyxixixiiii1i1i1i1解此方程组可得到唯一一组a,a,a的取值。01n3.matlab中的多项式拟合函数在matlab软件中，也可以借助专用的多项式拟合命令函数po

4、lyfit，它的基本使用格式为：函数：p=polyfit(x,y,n)功能：用n阶多项式拟合数据列(x,y)。说明：参数(x,y)是数据列的坐标，参数n是多项式的阶。返回值p是多项式从高阶到低阶的系数4.多项式求值通过数据拟合得到的只是多项式的系数，如果要对这个多项式求值，则调用函数polyval即可，这个函数的基本使用格式为：函数：polyval(p,x)功能：求多项式p在x处的函数值。x是数组的话返回函数值数组。说明：参数p是多项式的系数数组，从高阶到低阶。三、例题例1下表是纽约黑鲈的体重W与体长L之间的一组测量数据，试拟合出

5、体重W与体长L之间的函数关系。表1黑鲈的体重W与体长L测量数据W(ozs)171723274149L(in)12.5012.6314.1314.5017.2517.75（1）所给数据之间关系的散点图代码：L=[12.5,12.63,14.13,14.50,17.25,17.75];W=[17,17,23,27,41,49];2plot(L,W,'r+')xlabel('体长');ylabel('体重');legend('体重与体长关系散点图')运行结果：图2-1。（2）选择3阶多项式，先数据拟合代码：p=polyfit(L,W,3

6、)运行结果：0.42932-18.709274.49-1329.8。32即：W0.42932L18.709L274.49L1329.8（3）拟合曲线与原始数据对比图代码：plot(L,W,'r+',L,polyval(p,L))xlabel('体长');ylabel('体重');运行结果：图2-2。图2-1图2-2例2(斐波那契数列)某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且假设兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？（答案：144对）这个问题，最早由意大

7、利数学家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作《珠算原理》中提出。根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，我们会问：第n个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci数列的第n项是多少？这就需要我们探索Fibonacci数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n个3月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数

8、）。这样就得到关于Fibonacci数列的一个递推公式：FFFn21nn有了这个递推公式，使用数学方法就能够得到这个数列的通项公式如下：nnF{[(15)2][(15)2]}5n这个公式是法国数学家比内(Binet)早在184