线段的垂直平分线(1).ppt

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1、线段的垂直平分线与角平分线马边第一初级中学邓伯华一、基础知识1、线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：可用该定理证明两条线段相等.（2）线段关于它的垂直平分线对称.一、基础知识2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，AD

2、＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：可以用该定理证明一个点在某线段的垂直平分线上.（2）注意线段垂直平分线的性质定理与逆定理的区别，且在应用时不要缺少条件.一、基础知识3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.一、基础知识3、关于三角形三边垂直平分线的定理（2）三角形三边垂

3、直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.一、基础知识4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，

4、已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.定理的作用：①可以用该定理证明两条线段相等；②可以用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.一、基础知识5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：①用于证明两个角相等或证明一条射线是角的角平分线；②与性质定

5、理综合运用证明三点共线.注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.一、基础知识6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与

6、三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.一、基础知识7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.二、例题选讲例1、如图7，在△ABC中，BC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求AC边的长.解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴BC＝BE＋CE＝AE＋CE＝27，又AE＋EC＋AC＝50，∴AC＝50－27＝23，即AC的长为23.二、例题选讲例2、如

7、图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.证明：在BD上取一点E，使DE＝DC，连接AE，则AD垂直平分CE，从而AE＝AC，∴∠C＝∠AEC，∵∠C＝2∠B，∠AEC＝∠B＋∠BAE∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，∴BD＝BE＋DE＝AE＋CD＝AC＋CD.二、例题选讲例3、如图9，已知点P是△ABC的BC边的垂直平分线上一点，且∠A＝2∠PBC，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D、E，求证：BE＝CD.解：在BD上取一点F，使得BF＝CE，连接CF，∵PG垂直平分线BC，∴PB＝PC，∴

8、∠PBC＝∠PCB，PE＝CE－PC＝BF－PB＝PF，由PB＝PC，∠BPE＝∠CPF，PE＝PF得：△PBE≌△PCF，∴BE＝CF，∠PBE＝∠PCF，∵∠CDF＝∠A＋∠ABD＝2∠PBC＋∠PBE＝∠PBC＋∠