空间向量及其加减运算.ppt

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1、第三章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1．1空间向量及其加减﹑数乘运算1．掌握空间向量相关的概念、几何表示法、字母表示法．2．了解共线(平行)向量、共面向量的定义．3．掌握空间向量的加减、数乘运算及运算律，共线向量、共面向量的表示法．4．理解共线、共面向量定理及其推论，并能利用它们证明空间向量的共线、共面问题．1．空间向量．在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量．向量的__________叫做向量的长度或模．大小方向大小2．向量的表示法(如图3－1－1)．(1)几何表示法：用______________表示.(2)字母表示法

2、：用一个字母表示．如图3－1－1，此向量的起点是A，终点是B，可记作________，也可记作________，其模记为________或________．图3－1－1有向线段a

3、a

4、是________．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB＝0.3．零向量．长度为______的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向→4．单位向量．模长为________的向量．5．相反向量．与向量a的______相等而__________相反的向量，称为a的相反向量，记作－a.0任意的1长度方向6．相等向量．__________相同且________相等的向量称为相等向量．在空间，同

5、向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．图3－1－2方向模OB＝____________＝__________；CA＝____________＝__________.7．类似于平面向量，定义空间向量的加减运算(如图3－1－2)．→→a＋ba－b8．空间向量的加法运算律．(1)交换律：_________________.(2)结合律：___________________.9．向量的数乘．实数λ与向量a的积仍然是一个向量，记作______，称为向量的数乘．长度是_____________．当λ>0时，λa与向量a的方向________；当λ<0时，λa与向量a的方向

6、________；当λ＝0时，λa＝________.a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)λa

7、λ

8、·

9、a

10、相同相反011．共线向量．如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________________，则这些向量叫做共线向量或__________．12．共线向量定理．对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__________，称此为共线向量定理．注意：b≠0不可丢掉，否则实数λ就不一定存在．(1)分配律：__________________.(2)结合律：__________________.10．数乘运算律．λ(a＋b)

11、＝λa＋λbλ(μa)＝(λμ)a平行或重合平行向量a＝λb13．共面向量．________________________叫做共面向量．空间任意两个向量______________．14．共面向理定理．如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是：_______________________________________.称此为共面向量定理．平行于同一平面的向量总是共面的存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb【要点1】正确理解空间向量的概念．【剖析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正数或0，是可以进行比较大小的．由于方

12、向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的，比如可以说

13、a

14、>

15、b

16、，但不能说a>b.(2)在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量等概念与平面向量中相对应的概念完全一致．【要点2】向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是什么？【剖析】对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．【要点3】空间向量的数乘运算．【剖析】空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据定义来判断它的方向和大小．向量a的模可以扩大(当

17、λ

18、>1时)，也可以缩小(当

19、λ

20、<1时)；向量a的方

21、向可以不改变(当λ>0时)，也可以改变(当λ<0时)．实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．【要点4】共线向量与共面向量．【剖析】对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数λ使a＝λb；②存在唯一实数λ，使得a＝λb⇒a∥b.对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．三个非零向量a，b，c，其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数l，m，n，使la＋mb＋nc＝0.题型1空间向量的线性运算例1：如图3－1－3，在正方体ABCD－