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1、提分微课（四）构造辅助圆第六单元 圆“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图①,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图②,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.类型一 定点定长1.如图W4-1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=°,∠DBC=°.图W4-
2、112.537.52.如图W4-2,在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为,最大值为.图W4-2283.如图W4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.图W4-31.24.如图W4-4,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边
3、上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则线段A'C长度的最小值是.图W4-4[答案]4[解析]如图:5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.类型二 定弦定角或张角互补图W4-5(1)直角6.如图W4-5,三角板ACD,BCE中,△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥CD,则∠BCF=.[答案]45°[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵△ACD是等腰直角三角
4、形,∴∠ACD=45°.∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.7.[2016·宁波考纲]如图W4-6,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为.图W4-68.如图W4-7,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是.图W4-79.如图W4-8,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于点E,连接CE
5、,则CE的最小值为.图W4-810.[2015·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所示,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B‘为点B的对应点,点D’为点D的对应点,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E的度数为.图W4-945°图W4-10(2)定角11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为.12.如图W4-11,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点同时出发,以相同的速度沿直线向各自
6、终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线段PF的最小值为.图W4-1113.[2018·徐州节选]如图W4-12,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.随着点M在边AC上取不同的位置,△PFM的形状是否发生变化?请说明理由.图W4-1214.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点
7、.(1)如图W4-13①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图W4-13解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD逆时针旋转90°得到的,∴CB与CE重合,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=
8、∠BGF=45°,∴GF∥AC.14.[2016·宿
