2011届高考数学总复习测评课件60.ppt

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1、第三节导数的应用(Ⅱ)基础梳理1.一般地，求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.题型一求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在

2、[-1,1]上的最值.分析通过求导，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，找到最值.解∵f(x)=x2ex,∴f′(x)=2xex+x2ex=ex(2x+x2).令f′(x)=0,得ex(2x+x2)=0,∴x=0或x=-2(舍去).∵f(0)=0,f(-1)=e-1=,f(1)=e,∴f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(0)=0.典例分析学后反思求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.举一反三1.（2008·广东）已知

3、a为实数，函数f(x)=(+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在上的最大值和最小值.解析:f′(x)=3+2ax+1.∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2,∴f′(x)=3+4x+1=3(x+1).由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞-;由f′(x)＜0,得-1＜x＜-.因此，函数f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为,∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=处取得极小值f（）=.又∵f（）=,f(1)=6,且＞,∴f(x)在上的最大值为f(1)=6,最小值为f（）=.题型二导数在实际问题中的应用【例2】用长

4、为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图）.问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析引进变量建立目标函数，利用导数求最值.解设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V（x）=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).V′(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).当10＜x＜24时，V′(x)＜0,那么V(x)为减函数.因此，在定义域(0,24)内，函数

5、V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0＜x＜10时,V′(x)＞0,那么V(x)为增函数

6、；举一反三2.(创新题)2009年11月，济南市某开发商用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）解析：设楼房每平方米的平均综合费用为y元，依题意得y=(560+48x)+=560+48x+(x≥10,x∈N*),则y′=48-,令y′=0，即48-=0,解得x=15,当x＞15时，y′＞0;当0＜

7、x＜15时，y′＜0,题型三求单调区间与解含参不等式【例3】（2008·全国）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.因此，当x=15时，y取得最小值，ymin=2000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.解f′(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4a2-12,(1)当Δ＞0,即a＞3或a＜-3时，在上f′(x)＜0,f(x)是减函数;在和上，f′(x)＞0,f(x)是增函数.（2）当Δ＜0,即-＜a＜时，则对所有x∈R都有

8、f′(x)＞0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当Δ=0,即a=