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《2011届高考数学总复习测评课件60.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节导数的应用(Ⅱ)基础梳理1.一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用.题型一求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在
2、[-1,1]上的最值.分析通过求导,找到函数的极值点,将极值与端点处的函数值相比较,找到最值.解∵f(x)=x2ex,∴f′(x)=2xex+x2ex=ex(2x+x2).令f′(x)=0,得ex(2x+x2)=0,∴x=0或x=-2(舍去).∵f(0)=0,f(-1)=e-1=,f(1)=e,∴f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(0)=0.典例分析学后反思求函数在闭区间上的最值,应先利用函数的导数求得极值,再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值,最小者为最小值.对含有参数的问题,需注意分情况讨论.举一反三1.(2008·广东)已知
3、a为实数,函数f(x)=(+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在上的最大值和最小值.解析:f′(x)=3+2ax+1.∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2,∴f′(x)=3+4x+1=3(x+1).由f′(x)>0,得x<-1或x>-;由f′(x)<0,得-1<x<-.因此,函数f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为,∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=处取得极小值f()=.又∵f()=,f(1)=6,且>,∴f(x)在上的最大值为f(1)=6,最小值为f()=.题型二导数在实际问题中的应用【例2】用长
4、为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图).问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?分析引进变量建立目标函数,利用导数求最值.解设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320x(0<x<24).V′(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).当10<x<24时,V′(x)<0,那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数
5、V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600cm3.学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合,用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0<x<10时,V′(x)>0,那么V(x)为增函数
6、;举一反三2.(创新题)2009年11月,济南市某开发商用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)解析:设楼房每平方米的平均综合费用为y元,依题意得y=(560+48x)+=560+48x+(x≥10,x∈N*),则y′=48-,令y′=0,即48-=0,解得x=15,当x>15时,y′>0;当0<
7、x<15时,y′<0,题型三求单调区间与解含参不等式【例3】(2008·全国)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.因此,当x=15时,y取得最小值,ymin=2000.答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.解f′(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4a2-12,(1)当Δ>0,即a>3或a<-3时,在上f′(x)<0,f(x)是减函数;在和上,f′(x)>0,f(x)是增函数.(2)当Δ<0,即-<a<时,则对所有x∈R都有
8、f′(x)>0,此时f(x)在R上是增函数.(3)当Δ=0,即a=