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1、第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角θ=90°,则a与b垂直,记作.a⊥b2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定：零向量与任一向量的数量积为.(2)一向量在另一向量方向上的投影①定义:设
2、θ是非零向量a和b的夹角,则叫做a在b的方向上的投影,
3、b
4、cosθ叫做投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ<90°时,它是,当90°<θ≤180°时,它是,当θ=90°时,它是.②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度
5、a
6、与的投影
7、b
8、cosθ的乘积.
9、a
10、
11、b
12、·cosθ
13、a
14、
15、b
16、·cosθ0
17、a
18、cosθb在a方向上正数负数0b在a方向上3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=
19、a
20、cosθ.(2)a⊥ba·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=
21、
22、a
23、
24、b
25、.当a与b反向时,a·b=-
26、a
27、
28、b
29、.特别地:a·a=a2=
30、a
31、2或
32、a
33、=.(4)
34、a·b
35、≤
36、a
37、
38、b
39、.(5)(α是a与b的夹角).4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2).(3).(4)若a与b夹角为θ,则.(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则6.平面向量在平面几何中的
40、应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；(3)通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成几何关系.典例分析题型一数量积的运算【例1】(2009·广东联考)已知向量,且.求a·b及
41、a+b
42、.分析利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.解学后反思与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角
43、恒等变换的相关知识，分析求模类型.举一反三1.（2010·广州综测）已知点A(1,0),B(0,1),C（2sinθ,cosθ）.（1）若
44、AC
45、=
46、BC
47、,求tanθ的值；（2）若（OA+2OB）·OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值.解析：（1）∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)，∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1).∵
48、AC
49、=
50、BC
51、,∴化简得2sinθ=cosθ.又∵cosθ≠0(若cosθ=0,则sinθ=±1,上式不成立),∴tanθ=(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1)
52、,OC=(2sinθ,cosθ),∴OA+2OB=(1,2).∵(OA+2OB)·OC=1,∴2sinθ+2cosθ=1，∴sinθ+cosθ=，∴(sinθ+cosθ)2=,∴sin2θ=题型二模长与垂直问题【例2】已知︳a︳=4，︳b︳=8，a与b的夹角是(1)计算︳a+b︳,︳4a-2b︳；（2）当k为何值时，分析：（1）利用模长公式求解。（2）利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k解：由已知得，学后反思（1）利用数量积求解模长问题是数量积的重要应用，根据实际合理选择以下公式：①②③(2)非零向量是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关
53、垂直问题十分有效，应熟练掌握；若举一反三2（2009湖北）已知向量c=(-1,0)(1)求向量的长度的最大值；（2）设，且，求的值。解析：（1）方法一：则方法二：∵︱b︱=1,︱c︱=1,︱b+c︱≤︱b︱+︱c︱=2当时，有︱b+c︱=(-2,0),即︱b+c︱=2∴b+c的长度的最大值为2.（2）方法一：由已知可得方法二：若平方后化简得题型三夹角问题【例3】(14分)已知a、b都是非零向量,且
54、a
55、=
56、b
57、=
58、a-b
59、.求a与a+b的夹角.分析由公式可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中
60、a
61、=
62、b
63、=
64、a-b
65、的充分利用是求数量积的关键
66、,考虑怎样对条件进行转化.解方法一:由
67、a
68、=
69、b
70、=
71、a-b
72、得
