几何与代数_几代ppt.ppt

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1、东南大学数学系几何与代数习题解析第五章2010年国家级精品课程主讲:关秀翠教学内容和学时分配第五章特征值与特征向量教学内容学时数§5.1矩阵的特征值与特征向量2§5.2相似矩阵2§5.3实对称矩阵的相似对角化2§5.5用Matlab解题1特征值和特征向量

2、E–A

3、=

4、E–(P1AP)

5、i=tr(A),i=

6、A

7、A可逆A的特征值≠0,1/是A1的特征值;

8、A

9、/是A*的特征值.

10、E–A

11、=

12、E–AT

13、A=f(A)=f()对应于不同特征值的特征向量线性无关AT=AR,对应于不同特征值的特征向量正交性质应用计算定义相似对角化用A=PP1计算f

14、(A)=Pf()P1化实二次型为标准形

15、E–A

16、=0(E–A)x=0A=其中P–1AP=diag(1,…,n)A有n个l.i.的特征向量A(复)r(iEA)=nniA有n个不同特征值AA的化零多项式的根可能是但未必都是A的特征值.§5.3实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的特征值均为实数.实对称阵对应于不同特征值的特征向量正交.Th5.7任意n阶实对称阵总可以正交相似对角化,存在正交阵Q,使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n),其中Q=(q1,q2,…,qn)的列向量组是A的对应于特征值1,2,…,n的标准正交特征向量组.正

17、交特征向量1.l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交2.由1个特量及正交方程组解其他正交特量实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=A=QQT=QQ–1P–1AP=A=PP–1无需正交标准化,但需求逆正交标准化,但不需求逆f,f(A)=Qf()QT关于相似对角化与正交相似对角化实对称矩阵对角化的反问题：Q–1AQ=QTAQ=A=QQT=QQ–1不是任一个方阵A都可以相似对角化，只有当A有n个线性无关的特征向量时才可相似对角化；实对称矩阵必可正交相似对角化，也可以相似对角化.若实方阵A可以正交相似对角化，则A必是实对称矩阵.AT=(QQT

18、)T=QTQT=QQT=A一般方阵若能相似对角化，不一定能正交相似对角化.只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化.P–1AP=A=PP–1无需正交标准化,但需求逆正交标准化,但不需求逆f,f(A)=Qf()QT等价关系汇总等价关系定义矩阵定义等价类代表不变量RnnRmn相抵相似正交相似Rnn,实对称相抵标准形为初等阵i为特征值①秩②特征值,迹,行列式①②①秩若A可相似对角化第五章特征值与特征向量证明：5.设n阶方阵A的任一行中n个元素之和都是0,证明：0是A的一个特征值,并求出其对应的一个特征向量.所以0是A的一个特征值.对应0的一个特征向量为设

19、n阶方阵A可逆，且A每行元素之和都等于a，证明：a0.证明:a0.A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A对应于a的特征向量方阵A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，对于A的任意的特征值都有因为A满足A23A+2E=O是A的一个化零多项式，所以A的特征值只能取1,2。(2)当A=E时，2不是A的特征值.1不是A的特征值.6.设矩阵A满足A23A+2E=O,证明：A的特征值只能取1或2，举例说明1和2未必一定是A的特征值.A满足A23A+2E=O当A=2E时，A满足A23A+2E=O解：对于A的任意的特征值都有因为A满足A2=

20、E是A的一个化零多项式，所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，7.设矩阵A满足A2=E,证明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，则A=E.是方阵A的一个特征值(EA)不可逆.不是方阵A的特征值(EA)可逆.则(1EA)可逆.由A2=E可得(A+E)(AE)=O则A=E.解：即存在非零向量x,y,z,使得有非零解所以A的三个特征值为1,3,1.8.设A为3阶矩阵，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的迹和行列式.因为EA,3EA,E+A均不可逆是方阵A的一个特征值(EA)不可逆.不是方阵A的特征值(EA)

21、可逆.证明：14.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,证明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,则存在使得因为1,2线性无关产生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.证明2：因为1,2为对应于12的特征向量，所以1,2线性无关,设k11+k22为对应的特征向量.矛盾.当，线性无关,矛盾.当14.设1,2为方阵A的属于不同特征值1,