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1、6.2等差数列及其前n项和-2-考纲要求:1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.-3-1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N+),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的等差中项.2.等差数列的
2、通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前n项和公式-4-3.等差数列及其前n项和的性质(1)若{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N+);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*).(2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,也是等差数列.(4)若等差数列{an}的前n
3、项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.-5-4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)等差数列前n项和公式可变形为.当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).-6-123451.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差
4、都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.()(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()××√√×-7-123452.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案解析解析关闭∵{an}是等差数列,∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2=2×2-4=0.答案解析关闭B-8-123453设Sn是等差数列{
5、an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案解析解析关闭答案解析关闭-9-123454.(2015陕西,理13)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.答案解析解析关闭答案解析关闭-10-123455.在小于100的正整数中,被7除余2的数的和为.答案解析解析关闭答案解析关闭-11-12345自测点评1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.2.等差数列与函数的区别:当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n
6、的一次函数;当公差d=0时,an为常数.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式.-12-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混考点1等差数列中基本量的求解例1(1)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()答案解析解析关闭答案解析关闭-13-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6
7、答案:C-14-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混-15-考点1考点2考点3考点4知识方法易错易混思考:求等差数列基本量的一般方法是什么?解题心得:1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.-16-考点1考点2考点3
8、考点4知识方法易错易混对点训练1(1)
