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《大学高等数学_12空间曲线及平面方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C机动目录上页下页返回结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动目录上页下页返回结束二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距.机动目录上页下页返回结束例1.将下列曲线化为参数方程表示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所
2、求为得所求为机动目录上页下页返回结束例2.求空间曲线:绕z轴旋转时的旋转曲面方程.解:点M1绕z轴旋转,转过角度后到点则机动目录上页下页返回结束这就是旋转曲面满足的参数方程.例如,直线绕z轴旋转所得旋转曲面方程为消去t和,得旋转曲面方程为机动目录上页下页返回结束绕z轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为又如,xoz面上的半圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如机动目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程机动目录上页下页返
3、回结束例如,在xoy面上的投影曲线方程为机动目录上页下页返回结束又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.机动目录上页下页返回结束内容小结空间曲线三元方程组或参数方程求投影曲线(如,圆柱螺线)机动目录上页下页返回结束思考与练习P324题1，2，7（展示空间图形）P324题1(2)(1)答案:机动目录上页下页返回结束(3)机动目录上页下页返回结束P324题2(1)机动目录上页下页返回结束思考:交线情况如何?交线情况如何?P324题2(2)机动目录上页下页返回结束P325题7机动目录上页下
4、页返回结束P3243，4，5，6,8作业第五节目录上页下页返回结束备用题求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动目录上页下页返回结束第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角机动目录上页下页返回结束平面及其方程第七章①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束例1.求过三点即解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方
5、程机动目录上页下页返回结束此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=
6、0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.机动目录上页下页返回结束例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327例4,自己练习)机动目录上页下页返回结束三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束特别有下列
7、结论：机动目录上页下页返回结束因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束外一点,求例5.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动目录上页下页返回结束例6.解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动目录上页下页返回结束内容小结1.平面基本方
