新课程理念下的高中数学选修内容的教学_夏炎5.ppt

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1、例3已知函数f(x)=x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率．例4已知函数f(x)=2x+1，g(x)=2x，分别计算在区间[3，1]，[0，5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．思考从例4的求解中，你能发现一次函数y＝kx＋b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点吗？如何刻画变化的“快”与慢”？直观描述曲线的“陡峭”程度不同如何刻画“陡峭”程度数学对象：斜率平均变化率(1)从几何直观分析切线斜率问题的讨论是将背景从数学外部移向数学内部．1.1.2瞬时变化率——导数●如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？P放大再

2、放大PP如果将点P附近的曲线放大后进行观察．我们发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现，曲线在点P附近的曲线看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，可以发现点P附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．1．曲线上一点处的切线因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线，即在很小范围内以直代曲．P放大再放大PPP放大再放大PP既然点P附近的曲线被看作直线l，从而可用直线l的斜率刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”．一段上的变化率一点处的变化率P放大再放

3、大PP微积分的基本思想：以直代曲寻找这样的直线：yOxL1L2P探究如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线．（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线l4吗？割线切线怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢？如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．利用这

4、种合割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率．yxOy=f(x)xxx+xPQf(x+x)f(x)切线割线例1已知f(x)=x2，求f(x)在x=2处的切线斜率．