四边形有关证明和计算.ppt

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1、专题五:四边形相关证明及计算1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，E是AD中点，过A作AF∥BC①求证：△AEF≌△DEB；②求证：四边形ADCF是菱形；③若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面积．②证明：由①知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90°，D是BC的中点∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．③解：∵D是BC的中点，四边形ADCF是菱形，∴△ABD的面积=△ACD的面积=△ACF的面积，∴菱形ADCF的面积=Rt△ABC的面积=AB•AC=102．平行四边形ABC

2、D中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴平行四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD=5，∴矩形的面积=DE.DF=20．3．如

3、图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．解：（1）直线CE与⊙O相切理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AEo+∠DEC=90°而∠DEC=∠PEA∴∠OEP=90°，即OE⊥CE．∴直线CE与⊙O相切．PP（2）∵tan∠ACB=，BC=2，∴AB=BC•

4、tan∠ACB=∴AC=又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=∴DE=DC•tan∠DCE=1；在Rt△CDE中，CE=连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，解得：r=4、如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵

5、CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠E=180°﹣∠AFD，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，得EG•ED=AE2=18．