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1、1、求下列矩阵的满秩分解。第四章习题解答21-23A2=041125=14解:的秩为2,可求出满秩分解为可求出满秩分解为10合=B1Ci=]2又因为人2的秩为2,1一2412、根据定义求下列矩阵的广义逆A*。1岀=2解：(1)先求出A】的一个满秩分解。因为A】的秩为1,可求出满秩分解为4H]；][12]于是有即=（QW尸即=貴2]c「=cjcc7尸=翡最后得A/===丄12^2524（2）先求出人2的一个满秩分解。因为人2的秩为2,可求出满秩分解为10=〃2^2=]2010110于是有时=（可场尸可15最后得人2+=C2+B2+=14141
2、004181814340122J14383'84丄8181414141414813、证明下述广义逆矩阵的性质，设AeRmxA+eRnx,tl(1)(A+)+=A;(2)(AA+)2=AA+；(3)(A+A)2=A+Ao证明：(1)因为由定义可得A+AA+=AAA+A=A,(A+A)T=A+A,(AA+)T=AA+故由广义逆的定义可知(A+)+=Ao(2)(AA+)2=AA+AA+=AA(3)(A+A)2=A+AA+A=A+Ao4、应用逐列递推法求以下矩阵的广义逆矩阵。1-13A=132225解：将A分块A=[aia2a3],其中a1=[
3、l12『心=[-132『心=[325「(1)k=i,取4的第一列a严[112]・4=«1=[112]，；A1+=a1r/lla1ll2=
4、'
5、
6、
7、003■■(2)k=2,取A的第二列a2=[-132『和A]=[aJ。…I32]F02=^2_£厂2=[-132『_[112『=[一220]7区=0；=0；/
8、也1匸-扌
9、0512于是得A：=5_121"4121(3)k=3,取A的第三列=[3「331TLnFA=-A2r3=[°0°]T/(I+r>3)=[0.140125丫和A2=[a,a2]o-0.03380.1063]禺=4；-/X=0-031
10、40-009704112233-0.21500.24150.02660.03140.00970.0411于是得到A+=A3+=-0.21500.24150.1401-0.03380.02660.10635＞用广义逆矩阵求解如下矛盾方程组。~2x,+x2+x3=1・x,一2x2+工3=一2xv+兀2一2兀3=4先求出A的一个满秩分解。因为A的秩为2,可求出满秩分解为L=CT（CCT=2313131323A313于是得到A+=C+B+=919故原方程组的解为192919191929x=A+b+（/—A+A）y=6、用正交分解法求解矛盾方程组Ax=
11、b的最小二乘解。一1-2"2122解:vi=ui=（1,2,2）7,11"111=3，坊=片/11片11=（3,3,3）卩ui=vl=3务3T111TV2=U2~(“2，刍)$1=—£)+2®=(-—)ZJ3o1221Tllv2ll=-^2=v2/llv2ll=(-p---)r“2=”2+("29务)*1=—2刍+A=[u1,u2]=[ei^2]=QR3-210-2故原方程组的最小二乘解为x7、用满秩分解求矩阵广义逆十120fA=0113、2515,解：先求出A的一个满秩分解。因为A的秩为2,可求出满秩分解为c+=L(cL尸=511]1141
12、-511-517-4-56-4134110_12010101132■1■■=BC4=A+=C+B+=Cr(CC72-22B+=(BTB)-XBT=H102lap-T021=」[o11」6[-25J[o11■32-4717丄XX142一5430•••A+-C+B+_246-2240-4-34■V7358＞求以下方程组的通解。兀1_兀2=5v—Xj+兀。=—52x1-2x9=10■1-1'■■5解：A=-11,b=-52■-2_10■■先求出A的一个满秩分解。因为A的秩为1,可求出满秩分解为A=BC=[1-1]9、C+=CT(CL)T=—2-11
13、故原方程组的通解为A+=C+B+=x=A+b+(/—A+A)y=若B=[l0],C=]2]2-252521212yVjg/?3,验证(3C)+hC+〃+。解：c^^cy1^=-[i1]B+=B7(BB7)BC=l,(BCy=lC+B+=丄，故(BC)+^C+B+O21（）、证明：若A为列满秩矩阵，则”=（心尸";若A为行满秩矩阵，则A+=At(AAt)~10证明：(1)若A为列满秩矩阵，则有A(AtA)-xAtA=A9(AtA)-}AtA(AtA)-'At=(ATAYrAT(A(MA尸At)t=A((ATAf1)tAt=A((AtA)tf1A
14、t=A(ATAYlAt((ata)-'ata)t=r=ata由广义逆的定义知，A^(AtA)-xAt(2)若A为行满秩矩阵，则有AAt(AAt)-,A=A;Ar(A
