高考数学第30计-统计开门,存异求同.doc

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1、数学破题36计第30计统计开门存异求同●计名释义甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎

2、都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!●典例示范【例1】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：x23456y2．23．85．56．57．0若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【分析】本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数．相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.解：（1）列表如下：　i12345xi23456yi

3、2.23．85．56．57．0xiyi4．411．422．032．542．0x49162536于是b=，a=0.08.∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08.（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）即估计使用10年时维修费用是12.38万元.【点评】本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.【例2】某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：（

4、1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.【思考】本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.【解答】设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.(1)3个灯泡在使用1000小

5、时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.∴P3(2)=C(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.【点评】用独立重复试验的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次独立重复试验中事件

6、A恰好发生k次的概率.【例3】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【思考】本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】（1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ0123P甲答对试题数ξ的数学期望.Eξ=0×+1×+2×+3×=(2)设甲、

7、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)=P(B)=因为事件A、B相互独立,方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1-方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=【点评】①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.●对应训练1.在袋里装30

8、个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10