大连理工工程数学 课件 赵文茹 概率与统计概率第二章.ppt

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1、第二章随机变量及其概率分布本章问题引入：第一章我们讨论了单一事件的概率求解,但大多数情况需要我们对整个试验进行把握。例如设某车间有200台车床，由于经常需要检修、测量、调换刀具、变换位置等种种原因，因此，即使在生产期间，各台车床还是时常需要停车。若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床开动时需要耗电1千瓦，那么应供给这个车间多少电才能有95%的把握保证生产正常进行同时又节约电力呢？本章要研究的问题是：如何将随机事件用变量进行表示以及将事件与其概率的关系函数化，以便我们对随机现象能从总体上进行把握，这便是本章要研究的随机变量及其概率分布。2．1离散型随机变量及其概率分布2.1.1随机

2、变量在讨论随机事件及其概率时我们发现，随机试验的结果与数值有密切的关联——许多随机试验的结果本身就是一个数值；虽然有些随机试验的结果不直接表现为数值，但却可以将其数量化。看下面的例子。【例1】掷一质地均匀的骰子，向上一面的点数用X表示，则X的所有可能取值为1，2，…，6，即显然，X是一个变量，它取不同的数值表示试验的不同结果。例如{X=2}就表示事件“出现2点”。这里X取1，2，…，6的概率相等，均为1/6。【例2】设袋中有10只同样大小的球，其中3只黑球7只白球。现从中任意摸出2球，如果用X表示摸到黑球的数量，则X的可能取值为0，1，2，即显然X也是一个变量，它取不同的数值表示摸取

3、的不同结果，且X是以一定概率取值的。例如{X=2}就表示事件“摸到2个黑球”，且【例3】抛一枚1角硬币，结果有两种：国徽向上或国徽向下。此结果不是直接由数量表示的，但如果我们令{X=1}表示事件“国徽向上”，{X=0}表示事件“国徽向下”，即则试验结果就与数值0，1相对应。【例4】测试某批灯泡的寿命（单位：h）。若用X表示其寿命，同X可为区间上的任意一个实数。显然X是一个变量，它取不同的数值表示测得寿命的不同结果。例如表示事件“被测试的灯泡寿命在50h到100h之间”。从以上的例子可以看出，变量X的取值总是与随机试验的结果相对应，即X的取值随试验结果的不同而不同。由于试验的各种结果具

4、有随机性，因此X的取值也具有一定的随机性。我们称这样的变量X为随机变量（其实质是一个定义在样本空间上的单值实函数）。通常用大写拉丁字母X，Y或希腊字母等表示随机变量，而用小写的x,y,z等表示随机变量相应于某个试验结果所取的值。随机试验中各种事件都可以通过随机变量的取值表示出来。如在例2中，事件“至少摸到1个黑球”可用来表示；在例4中事件“被测试的灯泡寿命不低于1000h”可用2.1.2离散型随机变量及其分布律定义1如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称X为离散型随机变量。要掌握一个随机变量的变化规律，不但要知道它可能取什么值，更重要的是知道它取每一个值的概率是多少。定义

5、2设为离散型随机变量X所有可能取值，是X取值时相应的概率，即（2-1-1）则式（2-1-1）叫做离散型随机变量X的概率分布，其中。离散型随机变量X的概率分布也可以用表2—1的形式来表示，称其为离散型随机变量X的分布律。XP表2—1例1、例2、例3中的X都是离散型随机变量。以后说给定一个离散型随机变量，就意味着式（2-1-1）或表2—1是已知的。【例5】某男生投篮的命中率为0.7，现在他不停地投篮，直到投中为止，求投篮次数X的概率分布。解显然当X=1时，。当X=2时，意味着第一次投篮未中，而第二次命中。由于两次投篮是相互独立的，故于是X的概率分布为【例6】求例2中随机变量X的分布律。解

6、因为X的可能取值为0，1，2，且所以X的概率分布律为2.1.3几种常见的离散型随机变量的概率分布1．二点分布（0—1分布）如果随机变量X只取0，1两个值，即其分布律为其中0

7、别、系统运行是否正常等等，相应的结果均服从二点分布。X01P97/1003/1002．二项分布（X~B（n,p））如果随机变量X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为在n次试验中A发生k次的概率为如果随机变量X的概率分布为（2-1-2）其中0