大连理工工程数学 课件 赵文茹 概率与统计统计第七章 建模与应用.ppt

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1、第七章概率与数理统计数学实验（数学建模及应用）本章问题引入：通过概率论与数理统计的学习，我们知道在现实生活中存在许多具有不确定性的问题，它们往往遵循某种随机规律。要研究这类问题，必须借助以概率统计为基础的数学工具，按照研究目的和对象的客观规律来建立数学模型，这就是本章要研究的随机性模型。7.1简单的随机性模型7.1.1古典概型问题：设有一批产品共100件，其中有3件次品，现从中任取5件，求5件中无次品的概率和有2件次品的概率。分析：从该批产品中任取5件作为一次试验，则试验的基本事件总数是有限的，

2、即从100件产品中取出5件共有种取法。而每一种取法（即每一个可能的结果）发生的结果的可能性都是均等的，因此该问题属于古典概型。下面求出所求问题的概率。设“5件中无次品”，“5件中有2件次品”。对于事件，5件产品全由正品中取出，即从97件正品中任取5件，共有种不同的取法，于是依古典概型公式有：对于事件，5件产品中有2件次品和3件正品，这2件次品从原有的3件次品中取出，共有种不同的取法，而3件正品要从原有的97件正品中取出，共有种不同的取法，于是，则7.1.2客车停站问题问题：一辆客车载有位乘客从起

3、点站开出，沿途有个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。分析：因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第站不下车的概率为，于是位乘客在第站都不下车的概率为在第站有人下车的概率为设随机变量表示停车次数，且则由题意可知：所以有，于是从而得到客车平均停车次数为7.2随机性模型的应用7.2.1报童卖报问题问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为，零售价为，退回价为，当然应有。请你给

4、报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。分析：报童购进数量应根据需求量来确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机变化的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月、一年)卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。假设报童已经通过自己的经验或共创渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销

5、售范围内每天报纸的需求量为份的概率是。设报童每天购进份报纸，因为需求量是随机的，可以小于、等于或大于。由于报童每卖出一份报纸赚，退回一份报纸赔，所以当这天的需求量时，则他售出份，退回份，即赚了赔了；而当时，则份全部售出，即赚了记报童每天购进份报纸时平均收入为，考虑到需求量为的概率是，所以有（7-2-1）于是问题归结为在，，，已知时，求使取得最大值．通常需求量的取值和购进量都相当大，将视为连续变量，这时转化为概率密度，这样(7-2-1)式变为：（7-2-2）计算令得（7-2-3）使报童日平均收入达

6、到最大的购进量应满足（7-2-3）式．因为所以（7-2-3）式可以变为：即有（7-2-4）图7-1根据需求量的概率密度的图形（如图7-1所示），容易从（7-2-4）式来确定购进量。在图中，用，分别表示曲线下的两块面积，则（7-2-3）式又可记作：（7-2-5）因为当购进份报纸时：是需求量不超过的概率，即卖不完的概率；是需求量超过的概率，即卖完的概率。所以(7-2-3)式表明：购进的份数应该是卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱与退回一份赔的钱之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份

7、赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。例如，若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份、均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高？这个最高收入是多少？按（7-2-4）式，因为，，，，其中，，查表可得：，即每天购进516份报纸才能平均收入最高．最高收入按（7-2-2）式可得元。7.2.2传染病的随机感染问题问题：人群中有病人(带菌者)和健康人(易受感染者)，任何两人之间接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否

8、被传染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，怎样估计平均每天有多少健康人被传染?这种估计的准确性有多大?模型假设我们不对传染病感染机理和人群的接触状况作具体分析，而提出如下的一般化假设：(1)人群只分病人和健康人两类，病人和健康人数分别记为，，总数不变，即(2)人群中任何两人接触是相互独立的，具有相同的概率，每人每天与个人接触；(3)当健康人与一名病人接触时，健康人被传染的概率为。这里涉及到的4个独立参数，，，，其中，通常是已知的，与也可根据数据或经验获得。模型分析建模目的是寻找