二次函数的几何性质(于特)(1).ppt

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1、不急，先看看段老师分享的文章，不难推断这书的作者在中学数学界应有的江湖他地位，也不难想象他的书是一本什么样的书！于特2018暑假南京专题讲座学习笔记——抛物线的几何性质2018年8月5日至8月6日，常州市武进区教研员，江苏省数学特级教师，全国知名解题研究专家于新华老师（人称于头）在江苏南京开展了为期两天的中考数学压轴专题讲座，来自全国各地700多名数学教师汇聚一堂，亲眼目睹于头风采，聆听大师教诲，佩服尊敬之情由心而发，临走前均表露出依依不舍之情.笔者也是第一次聆听于头现场专题讲座，震撼之余，对于头系统有了进一步的理解.本文拟对这次

2、专题讲座作部分记录，以表对于头的敬仰之情，因笔者能力等各种原因导致的不足之处，望于头海涵（很多文字来自于头语录，不再一一注明）.先从笔者最感兴趣的“抛物线的几何性质”谈起：段广猛09.抛物线的几何性质反思：本题第（3）问，这里采取了上述所谓的“定义性质”，其实质为“变量巧设”，即巧设边长PG＝k，为接下来用k表示相关线段的边长提供方便；基于确定性思想，借助因果法分析，除了动点Q引发的点E与点F的运动，其他点都是确定的（死的），因而只需用字母表示动点Q的相关量（可以是线段长，也可以是坐标），然后用该字母表示出目标线段，问题便可迎刃而

3、解；总之，目标定了，方向对了，剩下的也就是坚持计算了；（二）三大函数的纵横比——换言之，一次函数的“纵横比”等于其一次项系数k的绝对值，与常数项b无关.这里之所以含有绝对值，是因为“纵横比”等于线段之比，只能非负.“纵横比”往往代表图像的“方向”，即一次函数的图像上任意两点之间连线的方向是不变的.一般地，对于一组平行直线，它们的“纵横比”是相等的.换言之，反比例函数的“纵横比”等于其比例系数k与选取两点横坐标之积的商的绝对值，即反比例函数的纵横比不仅与比例系数k有关，还与选取两点的横坐标之积有关.换言之，二次函数的“纵横比”与其二

4、次项系数、一次项系数以及选取两点横坐标之和有关.反思：“纵横比”的概念是由于头首创的（至少笔者知道的是这样），看似其与高中知识中的斜率k等相关，但前者的应用更加广泛，而且易于被初中学生接受，毕竟它就是两条线段的比值而已，而且是坐标系中的“铅垂线段”与“水平线段”之比值，可类比正切定义的由来；“纵横比”从几何意义上代表“方向”，当“纵横比”确定，其方向也确定，反之亦然.由此可见：一组平行直线的“纵横比”相同，相互垂直直线的“纵横比”也是相关的.事实上，它们之间的乘积为1（注：相互垂直的两条直线，其对应的一次项系数乘积为－1）.于头常

5、说：“想有背景，解不超纲；上下贯通，灵活自如.”借助此题，说明如下：如何做到解不超纲？继续往下看——反思：基于“纵横比”原理，结合平移思想，可以说抛物线中隐藏着的这个有趣结论真被秒杀，并且还可以得到一个更有趣的结论，即一组平行线与抛物线相交时，两交点的横坐标之和相等，此即下文即将解说的“平行弦性质”；上述【“解”不超纲】，其实质仅仅是对“纵横比”加以推导而已，呼应了【“想”有背景】，唯有知其然，并知其所以然，方可【上下贯通】，达到【灵活自如】；若不采取“纵横比”的相关原理，还可以采用以下基本解法：请看例题——反思：第（2）问采取了

6、平行弦性质，本来需要较复杂的计算求交点坐标，但这里真正意义上做到了口算，惊艳到无以复加，真是妙不可言；当然，作为解答题，平行弦性质不可直接使用，但这难不倒我们，只需要将前面有关平行弦的推理过程写一下，作为解题的引理，无任何问题可挑，下文亦然，不再复述；切记：知其然并知其所以然！否则，还不如不知然！退一万步讲，考试中，可以利用求交点坐标的一套方法来书写过程，真正计算却采取平行弦性质口算，或者将平行弦性质作为检验工具使用；但我们心中清楚，这一切的根由都是因为书中并未提及此性质而已，可它确实客观存在，而且结论极其简洁，证明也不复杂.换言

7、之，是残酷的现实埋没了平行弦的“惊艳”与“价值”，这一点，作为数学研究爱好者的我们，心中要清清楚楚.反思：见到抛物线中的平行线，联想到平行弦性质，这里的解法精彩到极致，简直让人目瞪口呆，对于头的敬仰之情再次浮上心头；若不采取平行弦性质，本题可以带参运算，用含n的代数式表示出相关线段，列出方程，加以求解，计算量较大；四、中点弦性质如图，在抛物线上任取六个点A、B、C、D、E、F，其中AB∥CD∥EF，且M、N、T分别为AB、CD、EF的中点，则M、N、T三点在同一条直线m上，且直线m与该抛物线的对称轴平行（或重合）；除此之外，过直线

8、m与该抛物线的交点P，作直线AB的平行线l，则直线l与抛物线相切.换言之，直线l与该抛物线有且只有一个公共点.上述结论用文字可翻译为：“抛物线上一组平行弦的中点在同一条与该抛物线对称轴平行（或重合）的直线上，且过该直线与抛物线的交代作这组平行弦的平