数学物理方程--- 3 Bessel 函数.ppt

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1、本章中心内容第3章Bessel函数求解多个自变量的方程如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。----高斯第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y+p(x)y+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或

2、y或y，且每项均为y或y或y的一次项，例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，其中C1，C2是任意常数.则函数定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，k1y1(x)+k2y2(x)=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0

3、的常数k1和k2，使在区间I上恒成立.则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比为常数，则y1=ly2，即y1-ly2=0.所以y1与y2线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，则其中C1,C2为任意常数.定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，y

4、=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，y

5、+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，和y+p(x)y+q(x)y=f2(x)则是方程①的特解.定理4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y+py+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为y+py+qy=0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.将y=rerx,y=r2erx及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.1.二

6、阶常系数线性齐次方程的解法由于erx0，因此，只要r满足方程r2+pr+q=0，即r是上述一元二次方程的根时，y=erx就是④式的解.方程⑤称为方程④的特征方程.特征方程根称为特征根.④⑤得例1求方程y-2y-3y=0的通解.解该方程的特征方程为r2-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为例2求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.解该方程的特征方程为r2-4r+4=0，求得将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2

7、=2，y=(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.例3求方程2y+2y+3y=0的通解.解该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为例4求方程y+4y=0的通解.解该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.对应的两个线性无关的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为2.二阶常系数线性非齐次方程的解法1自由项f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y+py+

8、qy=Pn(x),其中P