bessel函数在物理学中应用

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1、Bessel函数在物理学中应用摘要：本文首先介绍了贝塞尔函数的来源，然后介绍了其在物理学中的应用。贝塞尔函数在物理学中的应用是很广泛的，笔者主要以贝塞尔函数在热传导问题、量子力学和电动力学中的应用为例来说明其应用。关键词：贝塞尔函数；热传导；球方势阱；圆柱形导体;圆柱形波导中图分类号：G633.7文献标识码：A文章编号：1992-7711(2014)01-0119一、引言贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔•伯努利在研究悬链振动时提出，丹尼尔的叔叔雅各布•伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对

2、贝塞尔函数的研究做出贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数，现在贝塞尔函数广泛地应用于物理学中。贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的(在柱域问题中得到的是整阶形式a=n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式a二n+1/2),因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；

3、圆形(或环形)薄膜的振动模态分析问题。在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成(FMsynthesis)或凯泽窗(Kaiserwindow)的定义中，都要用到贝塞尔函数。二、贝塞尔方程和贝塞尔函数1.贝塞尔方程的来源贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式为△二■■(P■)+■■+■,令U(P,e,z)=r(p)e(e)z(z),通过对拉普拉斯方程2u=o分离变量得到关于变量p的方程：P2R〃(p)+PRZ(p)+[(x

4、-p)p2-n2]R(p)=0(1)或P2R〃(P)+pR‘(p)+[(-u)p2-n2]R(P)=0(2)其中n=0,1,2……，若(入-u)或(-u)$0则k2=(X-p)或(-卩)此时上述二方程均变为：P2R〃(p)+pRz(P)+[k2p2-n2]R(P)=0(3)称为n阶贝塞尔方程，令x=kp,y(x)=R(P)则n阶贝塞尔方程又可表示为:x2y"(x)+xy‘(x)+(x2-n2)=0(4)(3)和(4)是整数阶贝塞尔方程，若将之进行推广即将n推广为实数u则得到任意阶的贝塞尔方程：x2y"(x)+xyf(

5、x)+(x2-u2)二0(5)1.贝塞尔方程的通解(1)u和-u阶的Bessel函数第一类柱函数，Ju(x)=■■(■)2k+u,Ju(x)=■■(■)2k-u均为Bessel方程的特解，当uHn(n二0,±1,±2)时Bessel方程的通解是yc二CuJu(x)+D-u(x),当u二n时J~n(x)=(-1)nJn(x)o(2)第二类柱函数Neumann函数定义Nu(x)=■为第二类柱函数，此时Bessel方程的通解表示为：yc二Auju(x)+BuNu(x)o(3)第三类柱函数Hanke1函数定义Hu(1)(x)

6、=Ju(x)+iNu(x),Hu(2)二Ju(x)-iNu(x)为第三类柱函数，于是贝塞尔函数的通解又可表示为：y(x)二CIHu(1)(x)+C2Hu(2)(x)o2.球贝塞尔方程的来源利用球坐标系拉普拉斯算符的表达式，可得球坐标系亥姆霍兹方程的表达式：■■(r2・)+■■(sin0■)+■B+k2u=0(6)把变数r跟变数9,©分离开来，以u(「9,©)=R(r)Y(9,d)代入式(6),用■遍乘各项并适当移项得：■■(r2H)+k2r2=HH(sin◎■)-■■(7)左边是r的函数，右边是0,4)的函数，两边相

7、等是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，通常把这个常数记作1(1+1)。这就分解为两个方程：■■(sinO■)+■■+](1+1)R=0(8)■(r2H)+[k2r2-l(1+1)]R=0(9)其中式(9)亦即：r2B+2r«+[k2r2-l(1+1)]R=0(10)这叫做1阶球贝塞尔方程。这是因为对于k>0,可以把自变数r和函数R(r)分别换作x和x=krR(r)=■,则方程(10)式成为：x2・+x・+[x2-(].+■)2]y=0(11)这正是1+■阶的贝塞尔方程。1.球贝塞尔方程的解若20,则方程(10)退

8、化为：r2H+2rH-l(1+1)R=0(12)其线性独立的两解是rl和・。kHO时(1+・)阶贝塞尔方程有如下几种解J(x),J(x),N(x),H(1)(x),H(2)(x),其中任取两个就组成(1+・)阶贝塞尔方程的线性独立解。这样球贝塞尔方程的线性独立解也就是下列五中之中任取的两种:jl(x)=HJ(x),j-1(x)=BJ(x),nl