数学物理方程--- 3 Bessel 函数.PPT

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1、本章中心内容第3章Bessel函数求解多个自变量的方程如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。----高斯第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y+p(x)y+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，且每项均

2、为y或y或y的一次项，例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解，与所以有其中C1，C2是任意常数.则函数于是有y+p(x)y+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y+p(x)y+q(x)y=0的解.定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，k1y1(x)+k2y2(x)=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种简单易行

3、的方法，即看它们的比是否为常数，事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I上恒成立.则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.即y1与y2之比为常数.反之，若y1与y2之比为常数，则y1=ly2，即y1-ly2=0.所以y1与y2线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线

4、性无关的特解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，证因为y1与y2是方程y+p(x)y+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，故C1与C2不能合并为一个任意常数，因此y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.则其中C1,C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(形如y1=ky2或y2=k1y)来表示.定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)和线性齐次方程y+

5、p(x)y+q(x)y=0的解，所以有y*+p(x)y*+q(x)y*=f(x)，Y+p(x)Y+q(x)Y=0.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则又因为y=Y+y*，y=Y+y*，所以y+p(x)y+q(x)y=(Y+y*)+p(x)(Y+y*)+q(x)(Y+y*)=(Y+p(x)Y+q(x)Y)+(y*+p(x)y*+q(x)y*)=f(x).求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.(2)求线性非齐次方程y

6、+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，和y+p(x)y+q(x)y=f2(x)则是方程①的特解.定理4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，证因为y1*与y2*分别是②与③的特解，y1*+p(x)y1*+q(x)y1

7、*=f1(x)，与y2*+p(x)y2*+q(x)y2*=f2(x).于是有=f1(x)+f2(x)，所以有=[y1*+p(x)y1*+q(x)y1*]+[y2*+p(x)y2*+q(x)y2*]即y1*+y2*满足方程①，二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y+py+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为y+py+qy=0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx